Заметки о пространстве, времени, материи, движении материи 3 страница

Независимую координату, однозначно определяющую положение механизма, вовсе необязательно брать из числа указанных координат , или ; можно взять любой другой параметр, определяющий положение этого механизма, например, угол поворота кривошипа . Независимые друг от друга параметры, число которых равно числу степеней свободы системы и при помощи которых можно в любой момент однозначно определить положение этой системы и, следовательно, выразить декартовы координаты всех ее точек через эти параметры, называются обобщенными координатами голономной системы. Так, твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, так как его положение вполне определяется одной обобщенной координатой, т.е. углом поворота вокруг оси вращения. Твердое тело, совершающее плоскопараллельное движение, имеет три степени свободы, так как его положение вполне определяется тремя обобщенными координатами: двумя координатами центра тяжести любого сечения, проведенного параллельно неподвижной плоскости движения, и углом поворота вокруг оси, которая перпендикулярна к сечению и проходит церез его центр тяжести. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, имеет три степени свободы, так как его пложение определяется тремя обобщенными координатами: тремя углами Эйлера – углом собственного вращения, углом прецессии и углом нутации. Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы, так как его положение определяется шестью обобщенными координатами: тремя координатами центра тяжести и тремя углами Эйлера. Большинство разрабатываемых механизмов являются механическими системами с одной степенью свободы. Значительно реже встечаются механизмы с двумя степенями свободы и очень редко – с тремя степенями свободы. Предположим, механическая система, состоящая из точек, имеет степеней свободы и на нее наложены голономные стационарные связи. Обозначим обобщенные координаты этой голономной системы через . Тогда декартовы координаты каждой из материальных точек рассматриваемой системы могут быть выражены через обощенные координаты как ; ; (). Если связи нестационарные, то в этих выражениях также будет фигурировать в явном виде время . Если исключим из уравнений обобщенных координат , то получим уравнений с фигурирующими координатами т.е. найдем уравнения стационарных голономных связей. Уравнения движения голономной механической системы всегда можно представить через обобщенные координаты в виде ; причем производные от обобщенных координат по времени называются соответственно обобщенными скоростями и обобщенными ускорениями голономной системы. Для несвободной мехнической системы можут быть введено понятие о возможном, или виртуальном перемещении, весьма существенно отличающимся от действительного перемещения системы. Возможным перемещением механической системы называется всякое воображаемое бесконечно малое перемещение ее точек, допускаемое в данный момент наложенными на систему связями, или, иными словами, всякое воображаемое бесконечно малое перемещение точек системы, которое могли бы совершить эти точки в данный момент из данного их положения, не нарушая связей. Аналогично вводится понятие о возможном перемещении и для одной несвободной материальной точки. Понятие возможного перемещения точки или механической системы точек есть, следовательно, понятие чисто геометрическое. Возможное перемещение точки или системы не зависит от действующих на точку или систему сил, а зависит только от характера наложенных на точку или систему связей. При возможном перемещении точки или системы наложенные связи сохраняются и не препятствуют этому чисто геометрическому смещению точки или системы. Перемещение, при котором данная точка или система покидает наложенные связи, не является возможным. Всякое возможное перемещение рассматриваемой механической системы аналитически определяется значениями вариаций () координат материальных точек системы, удовлетворяющих уравнениям , которые получаются варьированием уравнений связей , где (Вариацией функции из вариационного исчисления, называется элементарное изменение ее значения за счет изменения вида самой функции при неизменном значении аргумента. Вообще варьирование, т.е. взятие вариации функции выполняется формально по тем же правилам, что и дифференцирование, если считать аргумент за постоянную. Если действительное перемещение материальной точки есть дифференциал функции , определяющей закон движения этой точки, то возможное перемещение той же материальной точки ищется именно при остановленном времени , а изменение вида функции заключается в том, что допускаются любые законы воображаемого бесконечно малого перемещения точки, совместимое с наложенными на нее в данный момент времени связями). Никакие другие условия на вариации координат точек системы не налагаются, а так как < – числа вариаций, то из уравнений, получаемых варьированием уравнений связи можно каких-нибудь вариаций выразить через остальные вариаций. Поэтому только вариаций являются независимыми, которые могут получать произвольные значения, а остальные вариаций определяются из уравнений, получаемых варьированием уравнений связи. Число степеней свободы голономной системы равно числу независимых вариаций, т.е. числу независимых возможных перемещений, которые может иметь рассматриваемая система. Это же понятие числа степеней свободы применяется и к одной материальной точке. Так, точка на поверхности или на плоскости имеет две степени свободы; свободная точка в пространстве – три; а точка, связанная с определенной линией – одну степень свободы. Силы, которые действуют на материальные точки несвободной механической системы можно еще классифицировать на активные силы и силы реакций связи. При этом к активным относятся силы, не являющиеся силами реакций связи. Характерной особенностью активных сил является то, что модуль и направление каждой активной силы наперед известны и непосредственно не зависят от действия других, приложенных к рассматриваемой механической системе сил, а также от движения этой системы и от характера наложенных на нее связей. Силы же реакции связей зависят от действия приложенных к механической системе активных сил, а также от движения этой механической системы и от характера наложенных на нее связей. Силы реакций связей возникают только тогда, когда механическая система, на которую наложены связи, под действием активных сил оказывает давление на эти связи. Как только прекращаются эти давления на связи, перестают действовать на механическую систему и силы реакции связей. В этом смысле силы реакции связей называются пассивными силами. Действующие на механическую систему активные силы и реакции связей могут быть отнесены как к внешним так и внутренним силам, т.е. деление сил на внутренние и внешние и на активные силы и реакции связей не взаимосвязаны. Связи, ограничивая свободу перемещений системы, изменяют характер ее движения. При этом точки системы при наличии связей получают в результате действующих на них сил ускорения, отличные от тех, какие они получили бы при действии тех же сил, будучи свободными. Отсюда следует, что эффект действия связей проявляется в форме изменения ускорения и, следовательно, это изменение равносильно действию некоторых сил, которые и называются реакциями связей и не могут быть определены до тех пор, пока не исследовано движение. Т.е. эти силы заранее, до исследования движения системы, неизвестны (в некоторых случаях, можно заранее указать только направления этих реакций). Сами связи делятся на связи идеальные и неидеальные. Идеальными связями называются такие связи, для которых сумма элементарных работ всех сил реакции связей на всяком возможном перемещении системы равна нулю, т.е. , где – реакция связи, действующая на -ю точку системы, – число материальных точек в рассматриваемой системе. Примерами идеальных связей являются: абсолютно гладкие поверхности и линии (направляющие) (про твердость этих поверхностей и линий в рассмотренной литературе не сказано), абсолютно твердая шероховатая поверхность при перекатывании по ней абсолютно твердого тела без скольжения, идеальные шарниры и подшипники.

Если материальные точки и механической системы связаны твердым (четкого упоминания о том, что твердый стержень должен быть лишен массы в рассматриваемой литературе не обнаружено) стержнем , то силы и будут реакциями стержня; работа каждой из этих реакций при перемещении системы не равна нулю, но сумма этих работ равна нулю. Связь твердым стержнем можно считать идеальной. Натянутую идеальную нить, связывающую две материальные точки механической системы, также можно считать идеальной связью. Под идеальной нитью понимается не обладающая массой (в И.М. Воронков «Курс теоретической механики» отсутствует указание о том, что нить не должна обладать массой) нерастяжимая нить, которая не оказывает сопротивления изменению ее формы, натяжение нити по всей длине одинаково. В задачах динамики несвободной механической системы пользуются аксиомой связи, которая имеет применение в задачах статики и динамики несвободной материальной точки: отбрасывая мысленно связи, наложенные на механическую систему, заменяют их наличие силами реакций связей; при этом несвободная механическая система рассматривается как система свободная, которая движется под действием активных сил и сил реакций связей. Считается, что идеальных связей в реальности не существует. Реакция всякой поверхности или линии имеет всегда две составляющие: нормальную, направленную по нормали к поверхности или линии связи, и силу трения, которая направлена противоположно направлению возможного перемещения. Для реальной (негладкой) поверхности или линии работа сил реакции при движении точки механической системы по (вдоль) поверхности (линии) связи отрицательна, т.е. условие идеальности связи не соблюдается. Однако при решении многих динамических задач возможная работа сил трения не имеет существенного значения. Тогда вводятся в рассмотрение идеальные связи как достаточно хорошее приближение к действительности.

Движение механической системы, кроме действующих сил, зависит также от ее массы и распределения масс в этой системе. Масса механической системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, входящих в состав этой системы. Распределение масс в первую очередь характеризуется положением так называемого центра масс, или центра инерции механической системы.

Центром масс, или центром инерции механической системы, состоящей из материальных точек, называют геометрическую точку , положение которой относительно выбранной системы отсчета определяется следующим радиусом-вектором: , где () – массы материальных точек, образующих механическую систему; () – радиусы-векторы этих точек; - сумма статических моментов масс точек системы относительно центра , служащего началом для ; - масса системы. Положение центра масс механической системы зависит только от распределения масс точек, составляющих эту систему, и совсем не зависит от того, находится данная механическая система под действием каких-нибудь сил или нет. Кроме того, положение центра масс механической системы не зависит от выбора системы отсчета. Центр тяжести отвердевшей системы, или неизменяемой механической системы совпадает с центром масс. Однако понятия о центре тяжести и центре масс не являются тождественными. Центр тяжести неизменяемой механической системы есть точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести материальных точек системы. Понятие центра тяжести применимо поэтому только к неизменяемым механическим системам (в частности, к твердым телам), которые находятся под действием силы тяжести. Понятие же о центре масс как о характеристике распределения масс в механической системе сохраняет свой смысл для любой механической системы, причем независимо от того, какие силы действуют на нее. Положение центра масс характеризует распределение масс системы неполностью. Поэтому при рассмотрении динамики механических систем точек и, особенно, при рассмотрении динамики твердого тела, вводится еще одна характеристика распределения масс – так называемый момент инерции системы. Моментом инерции механической системы материальных точек относительно рассматриваемой точки , оси или плоскости называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой точки , оси или плоскости соответственно: ; ; , где - масса - й точки системы, а , и - соответствующие ее расстояния от данной точки , оси и плоскости . Если механическая система образует сплошное твердое тело, то для нахождения момента инерции этого тела необходимо разбить все тело на конечное число элементарных частей и определить приближенный момент инерции относительно точки (оси, плоскости) вычислением указанной суммы для каждой элементарной части твердого тела. Затем вычислить предел найденного приближенного момента инерции, предполагая, что число частей , на которое разбито тело, стремится к бесконечности, а масса каждой части стремится к нулю. Так, например, момент инерции сплошного тела относительно оси будет определяться интегралом произведения квадрата расстояния точки тела до рассматриваемой оси на элементарную массу точки тела, где интеграл распространяется на весь объем тела: . Под сплошным твердым телом понимают неизменяемую механическую систему материальных точек, сплошным образом заполняющих некоторый объем (непрерывное распределение масс в этом объеме). Рассматривая формулы-определения для осевых моментов инерции системы относительно координатных осей, полярного момента инерции системы относительно начала координат, моментов инерции системы относительно координатных плоскостей можно получить следующие зависимости: сумма трех моментов инерции системы относительно трех координатных осей равна удвоенному полярному моменту инерции этой системы относительно начала координат; сумма трех моментов инерции системы относительно трех координатных плоскостей равна полярному моменту инерции этой системы относительно начала координат; момент инерции системы относительно какой-нибудь оси равен сумме моментов инерции этой системы относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся на этой же оси. Обычно моменты инерции для сплошных твердых тел вычисляются методом интегрального исчисления сравнительно легко только в том случае, когда эти тела однородные (масса тела распределена равномерно по объему тела, т.е. плотность тела во всех точках тела одинакова) и имеют правильную геометрическую форму. Плотность тела в рассматриваемой точке вычисляется как предел отношения массы тела (вещества, газа, жидкости) в определенной точке к его объему, когда объем стягивается к этой точке (при таком предельном переходе необходимо помнить, что на атомарном уровне любое тело неоднородно, поэтому необходимо остановиться на объеме, соответствующем используемой физической модели). В случае же неоднородных тел и тел, имеющих сложные геометрические очертания, моменты инерции надежнее и проще определять экспериментально с помощью соответствующих разработанных приборов. Момент инерции твердого тела относительно какой-либо оси иногда выражают через так называемый радиус инерции относительно оси. Радиусом инерции тела относительно рассматриваемой оси называется линейная величина, определяемая корнем квадратным из отношения момента инерции относительно рассматриваемой оси к массе всего тела. Радиус инерции отсительно рассматриваемой оси геометрически равен расстоянию от оси до той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела относительно рассматриваемой оси. Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции того же тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями. Из этого следует, что среди всех моментов инерции относительно параллельных осей наименьшим является момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела. Моменты инерции тела , , относительно координатных осей , , выбранной системы координат называют осевыми моментами инерции тела относительно координатных осей: ; ; . Величины: , , , где – масса -ой точки тела, , , – координаты -ой точки тела, – число частей, на которое разбито тело, называются центробежными моментами инерции тела. Центробежные моменты инерции могут быть вычислены при помощи определенных интегралов по объему тела аналогично тому, как вычисляются осевые моменты инерции. Таким образом, у тела может быть шесть центробежных моментов инерции, соответствующие координатным осям, из которых три попарно равны. Осевые моменты инерции относительно координатных осей и центробежные моменты инерции, соответствющие координатным осям, для рассматриваемого твердого тела и системы координат, не меняющей своей ориентации относительно тела, являются величинами постоянными. Совокупность трех осевых моментов инерции тела относительно заданных координатных осей и шести центробежных моментов инерции (из которых три попарно равны), соответствующих этим координатным осям, характеризует инертные свойства твердого тела, проявляющиеся при его вращении, и называется тензором инерции тела. Подобно тому, как скалярная величина может быть задана одним числом, а векторная – тройкой чисел, тензор инерции тела определяется девятью величинами - компонентами тензора – моментами инерции тела, из которых три попарно равны. Для вычисления момента инерции тела относительно произвольно выбранной оси , проходящей через начало координат системы – точку тела, необходимо знать направляющие косинусы оси и вычислить осевые моменты инерции тела относительно координатных осей и соответствующие этим осям центробежные моменты инерции.

.

Для того, чтобы представить в наглядной форме изменение моментов инерции относительно осей различных направлений, проходящих через точку тела, откладывают на осях различных направлений точку конца вектора , модуль которого равен единице, деленной на корень квадратный из момента инерции тела относительно оси . Определяемое таким образом геометрическое место точек конца вектора представляет собой эллипсоид. Этот эллипсоид носит название эллипсоида инерции тела для точки тела и характеризует распределение моментов инерции тела относительно всех осей, проходящих через точку . Для каждой точки тела можно построить свой эллипсоид инерции, причем в общем случае эллипсоиды инерции в различных точках тела будут иметь различные по величине полуоси и будут по-разному ориентированы относительно тела. Каждый эллипсоид инерции имеет три взаимно перпендикулярные главные оси и, взяв их за новые оси координат, оказывается, что центробежные моменты инерции тела, соответствующие новым осям координат равны нулю. Три такие взаимно перпендикулярные оси, проходящие данную точку тела, относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю, называются главными осями инерции тела относительно данной точки. Осевые моменты инерции относительно главных осей инерции, называются главными моментами инерции тела. В частных случаях, когда два из главных моментов инерции для какой-либо точки тела равны друг другу, эллипсоид инерции для этой точки тела представляет собой эллипсоид вращения. Если же равны между собой все три главных момента инерции, то эллипсоид инерции для этой точки тела является сферой. Следует иметь в виду, что в каждой точке тела можно провести, по крайней мере, три главные оси инерции, но в случае, когда эллипсоид инерции для заданной точки тела принимает вид сферы или эллипсоида вращения, для этой точки тела можно указать бесконечное множество осей, каждая из которых может быть выбрана за главную ось. Если какая-либо из осей, проведенных через заданную точку тела, является главной осью инерции, то будут равны нулю те центробежные моменты инерции, в которые входит соответствующая этой оси координата. Эллипсоид инерции, построенный для центра масс тела, называется центральным эллипсоидом инерции, а его оси носят название главных центральных осей инерции тела. Для вычисления момента инерции тела относительно какой угодно оси необходимо знать направление трех главных центральных осей инерции тела , , и моменты инерции , , относительно этих осей: , где , , – углы, образованные направлением оси с главными центральными осями инерции, – масса всего тела, – расстояние между осью и параллельной ей осью , которая проходит через центр масс тела.

Дата добавления: 2015-11-03