Заметки о пространстве, времени, материи, движении материи 2 страница

В теоретической механике различают материальные объекты только по их геометрической форме, массе и по распределению массы в объемах этих мате­риальных объектов, полагая, что все другие физические свойства одинаковы (скорее всего, имеется ввиду, что другие физические свойства не учитывают). Кроме того, в теоретической механике считают, что материальным объектам присуще свойство, в силу которого в одном и том же месте не могут находиться одновременно два или большее ко­личество материальных объектов.

Теоретическая механика, используя математические методы, имеет дело не с самими реальными материальными объектами, а с их моделями. В качестве материальных объектов в теоретической механике рассмат­риваются: абсолютно твердое тело, материальная точка и механическая система материальных точек или тел. Материальная точка, абсолютно твердое тело и механическая система – понятия отвлеченные, ре­зультат абстракции (представления в виде модели) реальных материальных объектов. Введение этих понятий вносит значительное упрощение в исследование механичес­кого равновесия и движения реальных материальных объектов. Всякое реальное тело вследствие взаимо­действия с другими материальными объектами, будет ли оно оставаться в покое или приходить в опреде­ленное движение, изменяет свою форму (деформируется). При этом величины этих деформаций зависят от материала тела, его геометрической формы и размеров, а также от действующих на тело сил. Учет этих деформаций имеет существенное значение при расчете прочности частей (деталей) различных сооружений или ма­шин. При этом для обеспечения необходимой прочности конструкции полезного изделия материал и размеры его частей подбирают так, чтобы деформации при действующих силах были достаточно малы (эти вопросы рассматриваются в курсах сопротивления материалов и теории упругости). Поэтому при рассмотрении общих законов механического движения и общих условий равновесия твердых тел можно пренебрегать малыми деформациями этих тел и рассматривать их как недеформируемые, или абсолютно твердые. Абсолютно твердым телом называют такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда остается неизменным. В курсах теоретической механики рассматривают все тела как абсолютно твердые за исключением некоторых случаев. Материальная точка – это тело, имеющее массу, размерами которого в данной решаемой за­даче о его движении или равновесии можно пренебречь. Материальная точка – это тело (имеющее ма­ссу), вращательными движениями кото­рого, по сравнению с поступательными, можно пренебречь. Например, поступательно дви­жущееся тело, если его размеры не имеют значения для решаемой задачи движения и взаимодействия, можно рассматривать как материальную точку. Если тело конечных размеров совершает поступательное движение, то все его точки движутся одинаково. Чтобы определить в этом случае движение тела, достаточно найти движение одной его точки. Поэтому поступательно дви­жущееся тело, если его размеры не имеют значения для решаемой задачи движения и взаимодействия, можно рассматривать как материальную точку, совпадающую, например, с центром масс тела и имеющую массу, ра­вную массе этого тела. При рассмотрении движения Земли вокруг Солнца можно пренебречь размерами Земли ввиду того, что размеры Земли весьма малы по сравнению с расстояниями от Земли до Солнца, а также можно пренебречь вращением Земли вокруг своей оси и принять Землю за материальную точку с массой, равной массе Земли. На чертежах материальная точка изображается геометрической точкой. Таким образом, необязательно понимать под материальной точкой тело очень ма­лых размеров. Заменяя тело материальной точкой, мы не только сохраняем за ним его массу, но также и способность взаимодействовать с другими материальными объектами. Но в задаче о вращении Земли вокруг ее оси уже нельзя принять Землю за материальную точку, а нужно рассматривать ее как тело конечных размеров. Материальную точку можно рассма­тривать не только как абстрактный образ тела с массой, равной массе этого тела, но и как абстрактный образ части тела с массой, равной массе этой части тела. Всякое тело можно мысленно разбить на отдельные части, размерами которых по всем направлениям малы по сравнению с размерами всего тела, и, следовательно, этими раз­мерами мо­жно пренебречь. Каждую такую отдельную столь малую часть тела можно принять за материа­льную точку. Тогда все тело можно представить состоящим из материальных точек, характер связи между которыми за­висит от свойств этого тела. При этом масса всего тела равна арифметической сумме масс всех материа­льных точек, входящих в состав этого тела. Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой материальной точки или каждого тела зависит от положения и движения всех остальных. Определяющим признаком механической системы материальных точек или тел является наличие сил взаимодействия между отдельными материа­льными точками или телами системы.

Примером механической системы является наша солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притяжения. Другим примером механической системы может служить любая машина или механизм, в которых все тела связаны силами взаимного давления или натяжения. Совокупность материальных точек или тел, между которыми нет ни­каких сил взаимодействия механическую систему не образует (скорее всего, в этих случаях силами механического взаимодействия пренебрегают). Совокупность материальных точек или тел, силами механического взаимодействия между которыми можно пренебречь (например, группа летящих самолетов или летящий рой пчел), как механическую систему не рассма­тривают. Если расстояние между двумя любыми материальными точками (или телами) механической сис­темы не изменяется при движении или покое этой системы, то такая механическая система называется не­изменяемой; в противном случае механическая система называется изменяемой. В частности, неизменяе­мой механической системой является абсолютно твердое тело. Примерами изменяемой механической сис­темы могут служить упругие тела, а также механизмы, состоящие из твердых звеньев, перемещающихся относительно друг друга.

Положение и движение механической системы относительно выбранной системы отсчета известно, если известно положение и, следовательно, движение каждой материальной точки, принадлежащей этой механической системе относительно той же системы отсчета, и наоборот. Поэтому исследованию движения механической системы должно предшествовать исследование движения одной материальной точки как простейшей механической системы. Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно выбранной системы отсчета, называется траекторией точки. Форма траектории точки зависит от выбора системы отсчета. Если траектория точки есть прямая линия, то движение точки называется прямолинейным, если траектория точки – кривая линия, то - криволинейным. Движение точки считается определенным, если определена ее траектория движения (непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно выбранной системы отсчета) относительно выбранной системы отсчета за рассматриваемый промежуток времени, а также ее скорость (первая производная от радиус-вектора, определяющего положение материальной точки, по времени) и ускорение (вторая производная от радиус-вектора по времени) в каждый рассматриваемый момент промежутка времени. Всякое механическое действие материаль­ных объектов друг на друга носит характер взаимо­действия. Установление меры механического взаимодействия материальных объектов друг на друга привело к понятию силы. Сила в теоретической механике есть величина, которая не только отражает объективное существование механического взаимодействия между материальными объектами, но и является количественной мерой этого взаимодействия. Пользуясь понятием силы, нужно всегда помнить, что сила возникает только в результате (механического) взаимодействия материальных объектов; поэтому нельзя рассматривать силу как нечто, существующее само по себе, независимо от материального объекта, являющегося ее источником, и материального объекта, испытывающего ее действие; только в целях простоты этим понятием заменяется механическое взаимодействие между матери­альными объектами. Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны; т.е. . Этот закон представляет собой третий закон динамики[1]. Законы динамики, впервые сформулировал и систематически изложил Ньютон в его сочинении «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 г. Эти законы основаны на опытных данных и являются результатом обобщения тех сведений в области механики, которые были получены до Ньютона и самим Ньютоном. Ньютон сформулировал основные законы динамики для тел, подразумевая под телом то, что в настоящее время называют материальной точкой. Поэтому для внесения полной точности в формулировку этих законов вместо слова «тело» употребляется современный термин «Материальная точка» (Вместо того, чтобы говорить о теле, движущемся поступательно под действием некоторой силы, говорят о движении материальной точки, к которой приложена та же сила). Если на материальную точку не действуют никакие силы, или силы, действующие на нее, взаимно уравновешиваются, то эта точка по отношению к инерциальной системе отсчета движется равномерно и прямолинейно (по инерции) или находится в состоянии покоя, ее ускорение равно нулю.

Инерциальной системой отсчета называется система отсчета, в которой выполняется данное утверждение – закон движения материальной точки по инерции (первый закон динамики); инерциальной системой отсчета является условно неподвижная система отсчета или всякая другая система отсчета, находящаяся в состоянии поступательного, равномерного прямолинейного движения относительно условно неподвижной системы отсчета; ускорение движения материальной точки во всех инерциальных системах одинаково. Законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета и во всех инерциальных системах отсчета механические явления протекают одинаково. Так как с механической точки зрения все инерциальные системы отсчета эквивалентны (равноправны), то поэтому не существует инерциальной системы отсчета, которую можно было бы предпочесть другим инерциальным системам отсчета. Любую из инерциальных систем отсчета можно положить покоящейся, а скорости всех остальных инерциальных систем определять относительно нее. Движение точки по отношению к инерциальной условно неподвижной системе отсчета называется абсолютным. Если рассматривается движение материальной точки по отношению к неинерциальной системе, т.е. такой системе, которая произвольным образом (с ускорением) движется по отношению к инерциальной системе отсчета, то рассматриваемое движение материальной точки в этом случае называют относительным. Опыт и наблюдения показывают, что для нашей солнечной системы инерциальной является гелиоцентрическая система отсчета с началом в центре Солнца и осями, проходящими через три так называемые неподвижные звезды. Однако при решении большинства технических задач инерциальной можно считать систему отсчета, неизменно связанную с Землей; в этом случае, очевидно, пренебрегаем суточным вращением Земли и ее годовым движением по криволинейной орбите вокруг Солнца.

По закону инерции ускорение материальной точки, свободной от действия сил, равно нулю. Если же к материальной точке будет приложена некоторая сила, то эта точка отклоняется от состояния инерциального движения, приобретая некоторое ускорение. Опытным путем установлено, что одна и та же сила сообщает двум различным и свободным от других воздействий покоящимся материальным точкам неодинаковые ускорения. Если при действии одинаковых сил модуль ускорения одной материальной точки оказался меньшим, чем модуль ускорения другой точки, то говорят, что первая точка является более инертной, и наоборот. Инертность выражает свойство материальной точки под действием силы приобретать то или иное ускорение своего движения, т.е. изменять свою скорость как по модулю, так и по направлению непрерывно во времени. Величина, определяющая меру инертности рассматриваемой мате­риальной точки, и называется массой материальной точки. Масса является величиной скалярной, положительной, и при этом в классической механике она рассматривается как величина постоянная для каждой материальной точки (однако и в классической механике бывают случаи, когда приходится рассматривать тела переменной массы, материальные точки переменной массы; например, при рассмотрении реактивного движения тел). Независимость массы материальной точки от места, в котором находится материальная точка, свидетельствует о том, что в отличие от веса масса является свойством самой мате­риальной точки. Масса является единственной характеристикой материальной точки - отличие материальных точек друг от друга в теоретической механике сводится к различию в массах.

По характеру рассматриваемых вопросов теоретическую механику делят обычно на статику (статику твердого тела), кинематику и динамику. В статике излагается общее учение о силах, рассматриваются вопросы эквивалентности различных систем сил, приложенных к абсолютно твердому телу, т.е. о замене заданной системы сил другой, эквивалентной ей по механическому воздействию на рассматриваемое твердое тело. В частности, в статике рассматривается приведение любой системы сил, действующих на твердое тело, к простейшему виду. Наряду с этим статика занимается также рассмотрением необходимых и достаточных условий равновесия различных систем сил, действющих на абсолютно твердое тело. Если данное тело может получить любое перемещение в пространстве, то такое тело называется свободным. Если под действием данной системы сил свободное тело двигается так, как если бы этой системы сил не было, или, продолжает оставаться в покое, то такая система сил называется системой взаимно уравновешенных сил, или уравновешенной системой сил, или системой, эквивалентной нулю. Иногда говорят, что эта система сил находится в равновесии. Под равновесием тела понимают состояние покоя этого тела по отношению к другим телам, играющим роль системы отсчета. Если систему отсчета, по отношению к которой рассматривается равновесие тела, можно считать неподвижной, то равновесие этого тела условно называют абсолютным, а в противном случае - относительным. В статике изучают только абсолютное равновесие тел. Условия равновесия тела существенно зависят от того, является ли это тело твердым, жидким или газообразным. Равновесие жидких и газообразных тел изучается в гидростатике и аэростатике; в общей теоретической механике рассматриваются обычно только вопросы равновесия твердых тел. Если в результате действия одного тела на другое происходит изменение движения, в частности изменение покоя другого тела, то тогда говорят о динамическом проявлении силы. Например, вследствие механического взаимодействия брошенного тела с Землей происходит изменение его движения, и, следовательно, наблюдается динамическое проявление силы тяжести тела – силы, с которой это тело притягивается к центру Земли. Если же в результате действия одного тела на другое не происходит изменения движения, в частности не происходит изменения покоя другого тела (вследствие механического взаимодействия этого тела еще и с другими телами), то в этом случае говорят о статическом проявлении силы. Например, если тело лежит на столе, то сила тяжести тела не вызывает изменения движения этого тела (в данном случае покоя) вследствие механического взаимодействия тела с опорой (столом), и в этом случае наблюдается статическое проявление силы тяжести тела. Следует иметь в виду, что устанавливаемые в статике законы сложения сил и приведения любой системы сил к простейшему виду одни и те же как при равновесии твердого тела, так и при его движении. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной. Силы, действующие на все точки рассматриваемого объема или рассматриваемой части поверхности тела, называются распределенными. Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу к телу в одной точке нельзя. Силы, которые в механике рассматривают как сосредоточенные, представляют по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил. Например, рассматриваемая в механике сила тяжести, действующая на твердое тело, представляет собой равнодействующую сил тяжести, действующих на его частицы. Линия действия этой равнодействующей проходит через точку, называемую центром тяжести тела. Механическое взаимодействие между материальными объектами необязательно осуществляется путем непосредственного контакта. Например, движение тела под действием силы притяжения Земли совершается в воздухе при отсутствии непосредственного контакта между телом и Землей. В кинематике рассматриваются общие геометрические свойства механического движения материальной точки, абсолютного твердого тела и механической системы независимо от действия на них сил. В динамике изучаются общие законы механического движения материальной точки, абсолютно твердого тела и механической системы с учетом действия на них сил. Динамика пользуется теми же абстрактными представлениями о материальных объектах, что и статика и кинематика, но в дополнение к ним рассматривает основную материальную характеристику материального объекта – его массу.

Произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием силы, действующей на нее, равно по модулю значению этой силы, а направление ускорения совпадает с направлением силы, т.е. . В случае механического взаимодействия двух материальных точек взаимодействия представляют собой действия одной материальной точки на другую с силой , вызывающей ускорение движения вто­рой точки по линии действия силы , а также действия второй материальной точки на пер­вую с силой , вызывающей ускорение движения первой по линии действия силы (где , - массы первой и второй материальных точек соответственно). Если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то она получает ускорение движения , равное геометрической сумме тех уско­рений, которые каждая сила сообщила бы, действуя отдельно.

Материальные точки в зависимости от ограничений, наложенных на их движение, классифицируются как свободные и несвободные материальные точки. Свободной точкой называется такая материальная точка, на которую не наложены никакие связи и движение которой зависит только от начальных условий движения и действующих на нее сил. Несвободной называется такая материальная точка, на движение которой наложены некоторые ограничения. Эти ограничения движения (координат положения и скоростей) точки, не зависящие от начальных условий движения и системы приложенных активных сил, называются связями. Активными силами являются все силы, действующие на материальную точку, кроме сил реакций связей, а начальными условиями движения – заданное начальное положение и начальная скорость точки. Несвободная точка под действием приложенных к ней активных сил не может, вследствие наложенных на нее связей, занимать произвольное положение в пространстве или иметь произвольную скорость. Такой несвободной материальной точкой является, например, материальная точка, движущаяся под действием активных сил по некоторой неподвижной поверхности или по некоторой неподвижной кривой, осуществляющих в этом случае связь. Примером движения несвободной материальной точки может служить движение шарика в криволинейной трубке. Если поверхность или кривая, на которых вынуждена оставаться движущаяся точка, являются идеально гладкими, т.е. осуществляемая ими связь является идеальной, или связью без трения, тогда сила реакции этой связи будет направлена по нормали к этой поверхности или к этой кривой, служащей связью, и будет называться в этом случае нормальной силой реакции связи. Если поверхность или кривая, на которых вынуждена оставаться движущаяся точка, являются шероховатыми, т.е. осуществляемая ими связь является реальной связью, тогда сила реакции этой связи будет направлена под некоторым углом к нормали к этой поверхности или к этой кривой и будет называться в этом случае полной силой реакции связи. При этом полная сила реакции равна векторной сумме нормальной силы реакции и динамической силы трения, направленной в сторону противоположную вектору скорости точки и равной по модулю произведению коэффициента трения при движении, умноженному на модуль нормальной силы реакции. Исследование движения несвободной материальной точки основывается на аксиоме связей, на основании которой, отбрасывая мысленно связи, наложенные на материальную точку, заменяют их наличие силами реакций связи. При этом несвободная материальная точка рассматривается как точка свободная, движущаяся под действием активных сил и сил реакций связи.

Выбор конкретных материальных точек (или тел) в качестве конкретной механической системы зависит от характера поставленной задачи. Рассматривая движение Солнца, Земли и Луны, по желанию можно исследовать движение или всех трех тел (тогда это будет одна механическая система), или только двух, например Земли и Луны (тогда это будет другая система). Изучая движение кривошипно-шатунного механизма, можно в зависимости от характера поставленной задачи принять за механическую систему как совокупность всех связанных между собой его звеньев, так и любую часть механизма и, в частности, отдельно звено механизма. Если мы рассмотрим некоторую механическую систему из n материальных точек, то для определения движения как всей системы, так и отдельных ее точек целесообразно силы, действующие на любую точку системы, разделить на внутренние и внешние. Силы, с которыми действуют на друг друга точки или тела рассматриваемой механической системы называются внутренними; силы, с которыми действуют на точки или тела рассматриваемой механической системы точки или тела, не входящие в состав этой системы, называются внешними. Например, силы взаимного тяготения планет солнечной системы являются для этой системы внутренними. Если рассматривать движение какой-либо планеты солнечной системы, то действующие на эту планету силы, обусловленные притяжением звезд и звездных скоплений, будут силами внешними. Если из рассматриваемой механической системы выделить какую-либо часть, то эта часть, также представляет собой механическую систему, но внутренние силы рассматриваемой механической системы, действующие на точки выделенной части, будут уже внешними по отношению к этой выделенной части. Например, если рассматривать движение всей солнечной системы в целом, то сила притяжения Земли к Солнцу будет внутренней; при изучении же движения Земли по ее орбите вокруг Солнца та же сила будет рассматриваться как внешняя. Следовательно, разделение сил на внешние и внутренние является условным и зависит от того, движение какой механической системы рассматривается. Свойства внутренних сил механической системы таковы, что геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил механической системы равняется нулю; геометрическая сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил механической системы относительно некоторого неподвижного центра равняется нулю. Эти свойства внутренних сил механической системы не означают, что внутренние силы взаимно уравновешиваются и не влияют на движение механической системы; внутренние силы приложены к различным точкам механической системы и могут вызвать взаимное перемещение точек системы. Внутренние силы будут взаимно уравновешенными только тогда, когда рассматриваемая механическая система будет представлять собой абсолютно твердое тело. Механическая система, состоящая из свободных материальных точек, называется свободной. Солнечная система – свободная механическая система, так как движение всех планет определяется только силами всемирного тяготения. Механическая система, состоящая из несвободных материальных точек, называется несвободной. Всякий механизм является примером несвободной механической системы. Связи ограничивают движения (координаты и скорости) точек механической системы, ограничения движений точек не зависят от приложенных активных сил и начальных условий движения. Всякая связь представляет собой практически некоторое тело, с которым соприкасается рассматриваемая механическая система при своем движении. В изделиях связи могут представлять собой конструктивно шарниры, подшипники, нити, стержни, рельсы, площадки и т.д. Схематически их представляют в виде геометрических линий, точек, поверхностей. Связи могут быть выражены математически в виде уравнений, которые называются уравнениями связей. Эти уравнения могут содержать координаты точек механической системы, время, а также, в общем случае, и скорости точек этой системы. Уравнения связей выражают, например, неподвижность некоторых точек механической системы, а также выражают зависимость между координатами точек системы, которая выполняется при всяком движении механической системы (механизма). Связи, которые не меняются с течением времени, называются стационарными связями. Уравнения этих связей не зависят явным образом от времени. Связи, которые меняются с течением времени, называются нестационарными связями. Уравнения этих связей явно зависят от времени. Удерживающими связями называются связи, которые сохраняют свое действие во все время движения точек системы. Неудерживающими связями называются связи, которые могут в некоторые промежутки времени прекращать и возобновлять свое действие. Чаще всего такого рода связи прекращают свое действие в определенном направлении и сохраняют свое действие в противоположном направлении движения точек системы. Уравнения удерживающих связей задаются равенствами, а уравнения неудерживающих связей задаются неравенствами. В наиболее важных практических случаях применяются удерживающие связи (например, в машиностроении). Связи делятся также на голономные (геометрические) и неголономные (кинематические). Голономными называются связи, которые накладывают ограничесния только на положение точек механической системы. В уравнения голономных связей входят координаты точек системы и не входят производные от этих координат по времени (проекции скоростей точек). Если при составлении уравнений связей получаются интегрируемые дифференциальные уравнения, то эти связи являются голономными (интегрируемыми). Уравнение голономной удерживающей стационарной связи, наложенной на механическую систему, состоящую из материальных точек, приводится к виду , где – координаты материальных точек системы. Неголономными называются связи, которые накладывают ограничения на скорости точек механической системы. В уравнения неголономных связей входят координаты точек системы и производные от этих координат по времени. Эти уравнения представляют собой неинтегрируемые дифференциальные уравнения. Механические системы, обладающие только голономными связями, называются голономными. Если же среди связей имеются неголономные, то механическая система называется неголономной. Пусть на механическую систему, состоящую из материальных точек с суммарным числом координат равным , наложено голономных стационарных удерживающих связей с уравнениями: , где . Если , то из уравнений связи определяются все координат точек механической системы и, следовательно, эти координаты будут иметь некоторые постоянные значения, а потому механическая система двигаться не будет. Для того, чтобы эта система могла двигаться, необходимо, чтобы было меньше . В этом случае не все координат точек голономной системы являются независимыми друг от друга, так как из уравнений связей, можно каких-нибудь координат выразить через остальные координат. Следовательно, только координат можно рассматривать как независимые переменные, которые могут принимать произвольные значения, все же остальные координаты найдутся из уравнений связей как функции этих независимых координат. Так что для определения положения рассматриваемой голономной механической системы относительно какой-либо системы отсчета достаточно задать из координат этой системы только лишь координат. Если связи, наложенные на механическую систему, являются голономными удерживающими, то число независимых параметров, однозначно определяющих положение точек системы, называется числом степеней свободы этой системы. Например, для кривошипно-шатунного механизма, изображенного на рисунке, независимой координатой, однозначно определяющей положение механизма, будет координата или , или . Рассматриваемый механизм имеет одну степень свободы.

Дата добавления: 2015-11-03