Властивості інтегралу Римана.

Якщо функція () інтегрована на відрізку (), тоді

1) ;

2) (лінійність інтегралу);

3) вона інтегрована на будь-якому відрізку, що міститься в середині ; і навпаки: якщо функція інтегрована на кожному із складових відрізків , то вона інтегрована на усьому відрізку ; зокрема, має місце формула:

(адитивність інтегралу);

геометрично для неперервної невід’ємної на функції остання рівність означає, що площа криволінійної трапеції на відрізку дорівнює сумі площ складових криволінійних трапецій на відрізках і (рис. 2.3).

4) добуток і частка є інтегрованою на відрізку функцією (для частки в припущенні про те, що для функції знаменника виконано: );

5) функція інтегрована і має місце нерівність ;

6) якщо на , то ;

зокрема, якщо на , то ;

7) якщо на , то має місце оцінка (теорема про середнє):

,

а якщо, крім того, неперервна на , то існує таке значення , що

.

Частковий випадок теореми про середнє: якщо , неперервна на , то

.

Значення називається середнім значенням функції на відрізку і обчислюється за формулою

.

Геометричний зміст теореми про середнє (в формулюванні часткового випадку). Якщо невід’ємна, неперервна на , тоді знайдеться така точка з відрізка , що площа криволінійної трапеції дорівнює площі прямокутника із сторонами довжини і (рис. 2.4).

Дата добавления: 2015-10-02