Измерение тесноты связи, решение уравнения регрессии

Корреляционный анализ используется для выявления связей между признаками. Корреляционным методом решают две основные задачи:

- определение с помощью уравнений регрессий аналитической формы

связи между вариацией признаков x и y;

- установление тесноты связи между признаками и аналитическому выражению.

Связи между явлениями классифицируются по степени тесноты, направлению и аналитическому выражению. Корреляция может быть парной и множественной. Парная корреляция – это связь между двумя признаками, множественная – зависимость результативного признака от двух и более факторных признаков.

Исследование связи между признаками необходимо начинать с теоретического анализа существа явления – формулировка гипотезы о наличии корреляционной связи между признаками, определение факторного и результативного признаков. После того как выдвинута гипотеза о причинно-следственной связи между исследуемыми признаками, для ее подтверждения используются различные статистические методы – параллельных рядов, корреляционной таблицы, аналитической группировки и графический.

Предположим, исследуется связь между основными фондами и выпуском продукции. Корреляционная таблица, устанавливающая эту связь, имеет следующий вид (табл. 10.1).

Для построения корреляционной таблицы предварительно определяют величины интервалов по факторному и результативному признакам. Затем строятся группы по этим признакам. Внутри групп подсчитывается численность единиц, входящих в каждую группу. Концентрация численности единиц совокупности по диагонали свидетельствует о наличии корреляционной связи между изучаемыми признаками.

Таблица 10.1

Распределение предприятий по стоимости основных фондов и выпуску продукции

Группы предприятий по стоимости основных фондов, млн руб.	Группы предприятий по выпуску продукции, млн руб.	Всего
10-30	30-50	50-70	70-110	110-190
10-20
20-30
30-40
40-60
60-100
Всего

Для построения корреляционной таблицы предварительно определяют величины интервалов по факторному и результативному признакам. Затем строятся группы по этим признакам. Внутри групп подсчитывается численность единиц, входящих в каждую группу. Концентрация численности единиц совокупности по диагонали свидетельствует о наличии корреляционной связи между изучаемыми признаками.

Связь между факторными и результативными признаками аналитически выражается уравнениями:

прямой ;

гиперболы ;

параболы .

Параметр a характеризует значение результативного признака, не зависящее от значения факторного признак. Параметр b – коэффициент регрессии говорит о том, на сколько в среднем изменится y при изменении x на одну единицу.

На основе параметров вычисляется коэффициент эластичности, который показывает изменение результативного признака в процентах в зависимости от изменения факторного признака на 1%:

.

После того, как выбрана форма связи, находится значение параметров а и b. Для этого применяют метод наименьших квадратов, который основывается на предположении независимости друг от друга отдельных наблюдений. Для решения составляется система уравнений:

В случае прямолинейной зависимости:

Подбор функции для выражения формы связи между признаками проходит несколько этапов – графический, логический, экономический, а также математическую проверку близости эмпирических данных к теоретическим.

Наиболее простой с точки зрения понимания, интерпретации и техники расчетов является линейная форма связи вида: y = a + bх.

Порядок решения системы уравнения прямой линии следующий:

1) все члены первого уравнения делятся на число n, все члены второго уравнения делятся на число ;

2) из первого уравнения вычесть второе, из полученного уравнения выразить b;

3) найденное значение b подставить в одно из исходных уравнений и найти значение a.

При нахождении зависимости между тремя и более признаками строится уравнение множественной регрессии. При построении таких уравнений следует учитывать, что факторы, включаемые в уравнение регрессии, не должны находиться между собой в линейной функциональной или очень тесной корреляционной связи. Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:

y = a + bx + cx .

Для решения системы нормальных уравнений необходимо разделить все члены уравнений на коэффициент при a, затем вычесть из первого уравнения второе и третье. Все члены полученных двух уравнений разделить на коэффициент при b и вычесть из первого уравнения второе. Из полученного уравнения выразить с. Подставив значение параметра с в уравнение, можно найти b. Аналогично определяем зачение параметра а.

Направление и мера тесноты связи между признаками устанавливается при помощи коэффициента корреляции. Знак коэффициента (+,-) говорит о направлении связи (прямая, обратная).

Линейный коэффициент корреляции рассчитывается по следующей формуле:

r = .

Если коэффициент корреляции находится в пределах от 0,1 до 0,3 – связь между признаками характеризуется как слабая, если 0,3-0,7 – связь средняя, 0,7-0,9 – связь тесная.

Необходимо также определить коэффициент детерминации , который показывает, какая доля изменения результативного признака объясняется влиянием факторного признака.

Для нахождения параметров уравнения и расчета коэффициента корреляции необходимо построить вспомогательную таблицу (табл.10.2).

Таблица 10.2

Расчет параметров уравнения и коэффициента корреляции

№ п/п	Исходные данные	Расчетные данные
Факторный признак, Х	Результативный признак, У	x^2	y^2	xy
…
…
Итого

При определении тесноты связи для множественной зависимости рассчитывают коэффициент множественной корреляции, предварительно определив коэффициенты парной корреляции:

,

где , . - парные коэффициенты корреляции.

Дата добавления: 2015-10-24