Примеры решения задач

Пример 1. Имеется однофазный трансформатор броневого типа

S_{nom = 100kBA} с напряжениями U1/U2=5000/400 B. Действующее зна­чение напряжения на один виток U_вит= 4,26 В; (рис. 1.6).

Определить:

1) число витков обеих обмоток трансформатора ;

2)сечение проводов обмоток А1,А2, если плотность тока

J= 3,2 А/мм²;

3) чистое поперечное сечение стального стержня магнитопровода А_ст, если индукция B_m = 1,4Тл.

Решение

1)

Рис.1.6

2) Номинальные токи:

I_1nom =S_nom/U₁ =100 ∙ 10³/5 ∙10³ =20 A;

I_2nom =S_nom/U₂ =100 ∙ 10³/о,4 ∙10³ =250 A;

Сечение проводов обмоток:

А₁=I_1nom/j=20/3,2 =6,25 мм²;

А₂=I_2nom/j=250/3,2 =78,12мм².

3) Магнитный поток и поперечное сечение магнитопровода

Ф = U_пит/(4,44 ∙ƒ) = 4,26/(4,44 ∙ 50) = 0,01918 Bб;

А_ст = Ф/В_m =0,01918/1,4 = 0,0137 м² = 137 см².

Пример 2. Произведены опыты холостого хода и короткого замы­кания трансформатора, который приведен в примере 1. При измерениях на холостом ходу выбираем в качестве первичной - обмотку низшего напряжения, а при коротком замыкании - обмотку высшего напряжения трансформатора.

Результаты измерений:

Определить:

1) потери в стали трансформатора Р_ст, пренебрегая потерями в об­мотке при холостом ходе;

2) номинальные потери в обмотках трансформатора Р_{обм.ном} ;

3) коэффициенты мощности при холостом ходе и коротком замыка­нии , ;

4) напряжение короткого замыкания в процентах: %.

Решение

1) Потери в стали с хорошим приближением пропорциональны квадрату напряжения (1.18):

Р_ст = (U_2ном/U_x)² P_X = (400/320)² 900 = 1406 Вт.

2) Потери в обмотках пропорциональны квадрату тока:
Р_{обм.ном} = (I_ном/I_k)² P_k = (20/13)² 1250 = 2956 Вт.

3) Коэффициенты мощности:

4) Можно считать, что напряжение при коротком замыкании прямо пропорционально току. Напряжение короткого замыкания при номи­нальном токе:

U_knom = U_kизмер (I_1nom/I_kизмер) = 240(20/13) = 369,2 В,

где U_kизмер - напряжение КЗ, измеренное во время исследования;

Пример 3. Трансформатор, приведенный в примере 1, со стороны обмотки низшего напряжения нагружен полным сопротивлением элек­трической цепи Z нагр. = 1,2 + j 1,5 Ом

Определить:

1) КПД η при данной нагрузке;

2) Реактивное сопротивление нагрузки и коэффициент мощ­ности , которая при постоянном значении сопротивления нагружает трансформатор номинальным током;

3)КПД η при нагрузке в соответствии с пунктом б;

4) вторичные напряжения трансформатора при обеих нагрузках

Решение

1) Ток трансформатора при заданной нагрузке:

I_нагр = ;

I_нагр= √130² - 162,6² = 208 А;

Потребляемая активная мощность и потери в обмотках:

Р² = I²нагр R_нагр = 208² 1,2 = 51920 Вт = 51,92 кВт;

Р_обм = Р_{обм.ном}(I_нагр/I_ном)² = 2956(208/250)² = 2040 Вт = 2,046 кВт.

КПД при данной нагрузке:

.

2) Расчет минимального реактивного сопротивления нагрузки:

I_2ном = I₂/Z_нагр; откуда Z _нагр = U₂/I_2ном = 400/250 = 1,6 Ом;

Zнагр = √R²нагр + Х²нагр мин;

откуда Хнагр мин = √ Z²нагр - R²нагр = √2,56 – 1,44 = 1,061 Ом.

3) Коэффициент мощности при номинальном токе:

КПД при номинальном токе:

Р*2 = I²_2номR_нагр = 250² 1,2 = 75000 Вт;

∙ή1 = .

4) При расчете напряжения на вторичных выводах пренебрегаем шунтирующей ветвью:

U ' ₂=U₁ – I ' нагр(Rcos φ + X_ssinφ)

( и - сопротивление трансформатора при коротком замыкании и ин­дуктивное сопротивление рассеяния).

Полное сопротивление электрической цепи при коротком замыкании:

Подставим и :

Пример 4. Обе обмотки трансформатора из примера 1 алюминие­вые. Удельное сопротивление провода обмоток (рис. 1.6).

Определить:

1) длины проводов L1,L2, необходимых для изготовления обеих обмоток трансформатора, если ;

2) индуктивные сопротивления рассеяния Xs1,Xs2 и индуктивности Ls1,Ls2,

если X'_S2= 1,1 X_S1

Решение

1) Активные сопротивления:

2) Индуктивное сопротивление рассеяния и индуктивности:

откуда

Пример 5. На рис. 1.7 приведены схемы обмоток однофазного трансформатора стержневого типа. При последовательном соединении половина каждой из обмоток трансформатора имеет параметры: Sном = 20кВа; U1/U2 = 1000/400 В; число витков первичной обмотки и 2W1=200;частота ; максимальное значение индукции Вм = 1,58Тл.

Рис.1.7

Определить:

1) коэффициенты трансформации и номинальные мощности транс­форматора для следующих вариантов соединений половинок каждой из обмоток: а) последовательно/последовательно; б) параллельно/ последо­вательно; в) последовательно/параллельно; г) параллельно/ параллельно;

2) число витков обмотки низшего напряжения и напряжение на один виток U_вит;

3) магнитный поток и поперечное сечение магнитопровода А_ст.

Решение

1) Число витков обмотки трансформатора определяет напряжение, сечение проводника определяет ток. Для схем на рис. 1.7 коэффициенты трансформации и мощности будут иметь вид:

а) при соединении последовательно/последовательно:

б) при соединении параллельно/последовательно:

в) при соединении последовательно/параллельно:

г) при соединении параллельно/параллельно:

Номинальная мощность не изменяется при параллельном соединении половинок обмоток, так как при половинном напряжении ток может быть вдвое больше, чем при последовательном соединении.

2) Число витков обмотки низшего напряжения:

откуда

2W₂=2W₁/n=200/2,5=80

3) Напряжение на виток, магнитный поток и сечение магнитопровода:

U_вит=U₁/2W₁=1000/250=5 B/виток;

U_вит = 4,44 ∙ѓФ, откуда Ф = U_вит/4,44 ∙ѓ = 5/4,44∙ 50 = 0,02252 Вт;

А_ост =Ф/Вm =0,02252/1,58 =0,01425 м² = 142,5см² .

Пример 6. Трансформатор, приведенный в примере 5 для случая соединения обмоток последовательно/параллельно, со стороны низшего напряжения нагружается изменяющимся по действующему значению то­ком индуктивного характера при С изменением полного на­грузочного сопротивления в трансформаторе устанавливаются токи, рав­ные 1/4, 3/4, 5/4 и 7/4 номинального.

Определить:

1) КПД трансформатора при каждой нагрузке, если

2) кривую зависимости

3) полные нагрузочные сопротивления электрической цепи:

4) сопротивление половин обмоток R_перв, R_втор при R₁ = R₂.

Решение

1) В номинальном режиме номинальный ток

I_ном = S_ном/U₁ = 20000/1000 = 20 A;

потери в стали приближенно:

P_ст = U₁I_x cos φx = 1000∙0,12∙20∙0,2 = 480 Вт;

потери в обмотках:

2) КПД при заданных нагрузках:

Зависимость (рис.1.8).

Рис.1.8

3) Активные сопротивления обмоток находим через потери в них:

Р_{обм.ном} = I²_{обм.ном}R,

откуда R = Р_{обм.ном} = I²_1ном = 1080/202 = 2,7 Ом;

Отсюда действительное сопротивление вторичной обмотки:

Вторичные полуобмотки соединены последовательно, следовательно:

R₂ = R_втор/2, откуда R_втор =2R₂ = 0,108 Ом.

Первичные полуобмотки соединены последовательно, значит:

R₁ = 2R_перв, откуда R_перв = R₁/2 = 0,675 Ом.

Пример 7. Однофазный трансформатор типа ОМ-6667/35 работает как понижающий. Пользуясь его техническими данными:

полная мощность

номинальное напряжение

потери мощности в режиме ХХ Р₀ = 17 кВт, в режиме КЗ Р_к =53,5 кВт, ток ХХ I₀ = 3%; напряжение u_k =8%,

определить:

1)коэффициент трансформации к; номинальные токи первичной и вторичной обмоток;

2) напряжение на вторичной обмотке при активно-индуктивной нагрузке, составляющей 50 % от номинальной, и

3) КПД при и нагрузке, составляющей oт номинальной;

4) годовой КПД, если с полной нагрузкой при Cos φ₂ =0,8 трансформатор работает 7000 часов.

Решение

1) Коэффициент трансформации: к = U_1и/U_2и = 30/10 = 3,5.

2) Номинальные токи:

I_1и = S_и/ U_1и = 6667/35 = 190,5 А; I_2и = S_и/ U_1и = 666,7 А.

2) Активно-индуктивная нагрузка трансформатора приводит к снижению напряжения на его вторичной обмотке , которое можно найти по следующей формуле процентного изменения напряжения :

где

u_p = √U²кз – U²n являются активными и реактивными составляющими напряжения короткого замыкания.

Отсюда U₂ = U₂н(1 –(∆U/100)) = 10000(1 – 0,027) =9730 В

3) КПД трансформатора при и

4) Годовой КПД учитывает работу трансформатора в различных ре­жимах, причем мощность потерь в стали (Р₀ = Р_с)учитывается в течение всего года часов, если не оговорено, что трансформа­тор отключается со стороны первичной обмотки. Мощности потерь в проводниках обмотки Р₃ = Р_к учитывается только во время работы под нагрузкой и пропорциональны :

.

Пример 8. Трехфазный трансформатор типа ТС -180/10 имеет сле­дующие паспортные данные:

полная мощность S_н= 180 кВА;

номинальное напряжение U_1н = 10 кВ; U_2н = 0,525 кВ;

Р₀ = 1,6кВт; Р_к = 3кВт;u_кз = 5,5%; I₀ =4%.

Определить:

1) фазные напряжения, если группа соединения трансформатора

2) фазный и линейный коэффициенты трансформации;

3) номинальные токи первичной и вторичной обмоток;

4) активные сопротивления обмоток, если при коротком замыкании трансформатора мощности потерь первичной и вторичной обмоток рав­ны между собой.

Решение

1) У трансформатора ТС-180/10 первичная обмотка соединена в “звезду” (Y), а вторичная - в “треугольник” (), поэтому фазные напря­жения равны:

,

U_2ф = U_2n = 525 B

2) Фазные и линейные коэффициенты трансформации соответственно равны:

3) Номинальные токи первичной и вторичной обмоток определяются из формул (при допущении, ):

S_n = √3 U_1nI_1n ≈ √3 U_2nI_2n,

откуда I_1n = S_n/√3U_1n = 180/1,73∙10000 = 10,4 A;

I_2n = S_n/√3U_2n = 180/1,73∙0,525 = 198 A.

Находим активные сопротивления обмоток R1и R2,с учетом того, что в каждой обмотке трансформатора по три фазы и ток КЗ для первичной обмотки равен номинальному фазному току I_1n, а для вторичной обмотки I_k = I_2nф = I_2nф√3:

Здесь Р_к = 3кВт – мощность, потерь по всех трех фазах трансформатора.

Пример 9. В однофазном трансформаторе сечение стали сердечника Sст = 10 см²; максимальная магнитная индукция в нем ; число витков

Определить ЭДС одного витка, ЭДС первичной и вторичной обмо­ток и коэффициент трансформации.

Решение

Амплитудное значение магнитного потока в сердечнике равно:

Ф_m = B_m ∙ S_cт = 2∙10∙10^-4 = 20∙10^-4 Вб.

Действующее значение ЭДС одного витка:

Еw =4,44ƒФm = 4,44∙50∙20∙10^-4= 0,444 B.

Действующие значение ЭДС Е₁,Е₂ равны:

Е₁ = Ew∙W₁ = 0,444∙500 = 222 B,

Е₂ = Ew∙W₂ = 0,444∙100 = 44 B.

Коэффициенты трансформации:

Пример 10. Для определения группы трансформатора с соединени­ем обмоток , напряжением 2625/404 В мощностью S_nom = 16кВА были измерены напряжения по схеме (рис. 1.9).

Питание: симметричное трехфазное напряжение U_пит = 500 В: изме­ренные напряжения:

между А и С - 502 В; между А и а - 569 В;

между С и С – 569 В; между С и а – 569 В.

Рис.1.9

Определить:

1)номинальные токи I_1nom, I_2nom;

2) фазовый угол б между напряжениями первичной и вторичной обмоток и способ соединения обмоток;

3) при замене начал и концов обмотки низшего напряжения определить фазовый угол, способ соединения обмоток и напряжения при питательном напряжении 500 В;

4) начертить схему соединений;

5) отношение напряжений, если сторону низшего напряжения тоже соединить в «треугольник».

Решение

1) Токи равны:

I_1nom = S_nом/(√3 U₁) = 16000/(1,73∙2625)=3,523 А;

I_1nomф = 3,523/1,173 = 2,036А;

I_2nom = S_nом/(√3 U₂) = 16000/(1,73∙404) = 22,89 А.

2) При известном напряжении питания можно построить векторную диаграмму для обмотки высшего напряжения. Ввиду того что выводы В и b согласно схеме (рис. 1.9) соединены, точка b векторного треугольника со стороны низшего напряжения совпадает с точкой В. Используя значе­ния напряжений, полученные путем измерений, можно определить точки а и с на векторной диаграмме. Ход построения в диаграмме показан на рис. 1.11. Исследуя положение векторов, определяем, что вектор напряже­ния а-b на 150° отстает от вектора A-В, следовательно, б = 150⁰ иначе го­воря, группа соединения обмоток трансформатора Д/Y – 5.

Рис.1.10

3)Взаимная замена начал и концов обмотки низшего напряжения приводит к повороту на 180° векторного треугольника. При этом вектор напряжения а-b будет отставать на 330° от вектора A-В. В этом случае группа соединения обмоток будет Δ/Y – 11 (рис. 1.11).

Рис.1.11

4)Схема соединения (рис.1.12).

Рис.1.12

5)Отношение напряжений при включении обмотки низшего напря­жения по схеме “треугольник" (рис. 1.12):

Отношение напряжений после переключения:

Из этих двух выражений получаем:

Задачи

Задача 1. Для трехфазного трансформатора с группой соединения обмоток напряжение U₁/U₂ = 10500/400 B, а основные размеры магнитопровода приведены на рис. 1.13. Напряжение на виток 4,812 В/вит.

Определить:

1) число витков ;

Pис. 1.13

2) максимальные магнитные индукции в стержне и ярме В и В_я, если чистое поперечное сечение стали стержней 0,013м², ярма - 0,0155 м²

3) массы стержней и ярм m и m_я, если плотность стали

р = 7,85∙ 10^-3 кг/м³;

4) коэффициент заполнения к_з, если указанный на рис. 1.13 диаметр является диаметром описанной вокруг стержня окружности;

5) потери в стали Р_ст, если магнитопровод, изображенный на рис. 1.13, изготовлен из электротехнической стали 3413.

Задача 2. Найти ЭДС обмотки трансформатора с числом витков 100, если он подключен к сети с частотой , а магнитный поток в сердечнике 2∙ 10^-4 Вб.

Задача 3. Определить число витков вторичной обмотки трансфор­матора, если при магнитном потоке в сердечнике 10^-4 Вб наведенная в ней ЭДС должна быть 100 В при ƒ = 50 Гц.

Задача 4. Чему равно сечение магнитопровода трансформатора с коэффициентом трансформации к= 50, подключенного к сети с U =2000 В, ѓ = 50 Гц, если индукция в магнитопроводе 1 мВб, а число вит­ков вторичной обмотки 100.

Задача 5. Определить номинальную мощность трансформатора,

подключенного к сети с U = 1000 В, если ток во вторичной обмотке 50 А. Коэффициент трансформации к = 10, КПД ƞ = 0,95%.

Задача 6. Трансформатор с номинальной мощностью S_ном = 100 кВ∙А подключен к сети с U = 1000 В.

Определить полезную мощность, потребляемую нагрузкой, при подключении которой ток в первичной обмотке равен 10 А. Коэффициент мощности cosφ₂ = 0,8.

Задача 7. Трансформатор с паспортными данными S_ном = 10 кВ∙А имеет U_1н=500 В; U_2н = 100 В; cosφ₂ = 8; η = 97 %.

Определить номинальный ток I _1н, а также мощности, потребляемые нагрузкой и трансформатором в номинальном режиме.

Задача 8. Какое количество витков имеют первичная и вторичная обмотки трансформатора, подключенного к сети переменного напряжения 220 В с f = 50 Гц, если в режиме холостого хода напряжение на вторичной обмотке 20 В, а магнитный поток в сердечнике Ф_м = 2 ∙ 10^-4 Вб.

Задача 9. Как определяются фазные и линейные коэффициенты трансформации трехфазных трансформаторов при включении Y/Y; Y/Δ Δ/Y; Δ/Δ.

Задача 10. У трехфазного трансформатора с группой соединения обмоток Δ/Y - 11 напряжения U₁/U₂ = 21000/400 В; напряжение на один виток U_ВИТ = 9,62 В/вит; средние длины витка и сечения проводников обмоток: на стороне ВН l_СР1 = 1,022 м, А = 4,9 мм²; на стороне НН l_{СР 2} = 0,734 м, А = 404,5 мм²; номинальная мощность S_НОМ = 630 кВ∙А; ток XХ I_Х = 0,021 ∙ I_НОМ; потери XX Р_Х = 1,49 кВт; потери КЗ Р_К = 9,2 кВт, напряжение короткого замыкания U_К = 4,5 %.

Определить:

1) активные сопротивления обеих обмоток трансформатора R 1, R2 при 70°С, если ρ₂₅ = 0,0346 мкОм∙м;

2) потери в стали Р_СТ с учетом потерь в обмотках при XX;

3) номинальные токи I_{1 НОМ}, I_{2 НОМ};

4) максимальное значение магнитного потока Ф;

5) коэффициенты мощности при ХХ и КЗ (cosφ_X, соsφ_K);

6) все индуктивные сопротивления рассеяния Х_S.

Задача 11. Трехфазный трансформатор с соединением обмоток I Δ-11 имеет U₁/U₂ = 21000/400 В; напряжение на виток U_ВИТ =7,48 В/вит; потери при КЗ Р_К = 3,9 кВт; номинальная мощность S_ном = 160 кВ∙ А; ток XX i ₀ = 3%; потери холостого хода Р_Х = 550 Вт; напряжение короткого замыкания U_К = 4,5%.

Определить:

1) активные сопротивления и индуктивные сопротивления рассеяния обеих обмоток трансформатора R₁, R₂', X_S1, X_S2', предполагая, что R = R₂' и X_S = 11X_S2';

2) активную и реактивную составляющую тока XX I _CT и I μ;

3) индуктивное сопротивление для основного магнитного потока и сопротивление, соответствующее потерям в стали Xμ и R_СТ;

4) сечение магнитопровода А_СТ, если индукция в нем В = 1,58 Т_Л;

5) диаметр окружности D₀, описанной вокруг стержня, если коэффи­циент заполнения сечения k₃ = 0,86.

Начертить схему замещения одной фазы с рассчитанными парамет­рами.

Дата добавления: 2015-08-27