Классификация точек покоя.

Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

.

Рассмотрим следующие возможные случаи:

1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные.

Точка покоя будет устойчива. Такая точка покоя называется устойчивым узлом.

2) Корни характеристического уравнения действительны и

или .

В этом случае точка покоя также будет устойчива.

3) Хотя бы один из корней положителен.

В этом случае точка покоя неустойчива, и такую точку называют неустойчивым седлом.

4) Оба корня характеристического уравнения положительны .

В этом случае точка покоя неустойчива, и такую точку называют неустойчивым узлом.

Если из полученного решения системы исключить параметр t, то полученная функция дает траекторию движения в системе координат XOY.

Возможны следующие случаи:

b b

a a

Устойчивый узел. Неустойчивый узел. Седло.

5) Корни характеристического уравнения комплексные .

Если р = 0, т.е. корни чисто мнимые, то точка покоя (0, 0) устойчива по Ляпунову.

Такая точка покоя называется центром.

Если p < 0, то точка покоя устойчива и называется устойчивым фокусом.

Если p > 0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом.

Вопросы для самоподготовки

1. Что называется дифференциальным уравнением первого порядка?

2. Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?

3. Что называется частным решением дифференциального уравнения первого порядка?

4. В чем состоит начальное условие?

5. Дать определение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Указать метод его интегрирования.

6. Какое уравнение называется однородным? Как оно решается?

7. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка? Изложить способ его решения.

8. Дать определение дифференциального уравнения Бернулли. Метод его решения.

9. Что называется дифференциальным уравнением второго порядка?

10. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Методы их решения.

11. Что называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка?

12. Какие функции называются линейно независимыми?

13. Структура общего решения линейного дифференциального уравнения второго порядка без правой части?

14. Структура общего решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с правой частью?

15. Способ решения линейного дифференциального уравнения второго порядка без правой части с постоянными коэффициентами?

16. Какое уравнение называется характеристическим? Как оно составляется?

17. Какой вид имеет общее решение уравнения y’’ + a₁y’ + a₂y = 0 (a₁. a₂ произвольные постоянные) в случае действительных и различных корней характеристического уравнения?

18. Какой вид имеет общее решение уравнения y’’ + a₁y’ + a₂y = 0 (a₁. a₂ произвольные постоянные) в случае действительных и равных корней характеристического уравнения?

19. Какой вид имеет общее решение уравнения y’’ + a₁y’ + a₂y = 0 (a₁. a₂ произвольные постоянные) в случае комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения?

20. Объяснить правило отыскания частного решения уравнения y’’ + a₁y’ + a₂y = f(x) (a₁. a₂ произвольные постоянные), если f(x) = P(x)е^αx ?

21. Что называется системой дифференциальных уравнений первого порядка?

22. Что называется решением системы дифференциальных уравнений первого порядка?

23. Какой вид имеет нормальная система уравнений и ее общее решение?

Дата добавления: 2015-07-16