Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Поверхностные интегралы первого рода | Поверхностные интегралы второго рода. | Связь поверхностных интегралов первого и второго рода. | Пример. | Элементы теории поля | Формула Стокса | Циркуляция векторного поля | Свойства общего решения | Уравнения с разделяющимися переменными | Пример. |


Читайте также:
  1. VI. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
  2. А-IV (7) Однородные и неоднородные приложения
  3. Б.2 В. 17 Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Единственность решения первой краевой задачи и задачи Коши.
  4. Б.2 В.18 Постановка внешних и внутренних краевых задач для уравнения Лапласа. Условие разрешимости внутренней задачи Неймана.
  5. Все письменные вычисления выполняются справа от уравнения.
  6. Выполнение расчетов. Формулы и уравнения
  7. Гетерогенные (неоднородные) классы

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q (x) ¹ 0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

Метод Бернулли

Суть метода заключается в том, что неизвестная функция представляется в виде произведения двух функций .

При этом очевидно, что - дифференцирование произведения. Подставляя в исходное уравнение, получаем:

или .

Так как первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

Например, функция может быть представлена как .

Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение .

Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

Интегрируя, найдем функцию v:

; ;

То есть, получена вторая составляющая произведения , которое и определяет неизвестную функцию.

Подставляя полученные значения, получаем:

Окончательно получаем формулу:

,

где С2 - произвольный коэффициент.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по методу Бернулли.

Метод Лагранжа

Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.

Вернемся к поставленной задаче:

.

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.

Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:

.

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.

Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:


Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 57 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Линейные однородные дифференциальные уравнения| A) Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)