Читайте также:
|
Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа: 
. Функция 
называется гармонической в конечной области D, если она в этой области имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках D. Функция называется гармонической в бесконечной области D, если она в этой области имеет непрерывные производные до второго порядка, удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках D и равномерно стремится к нулю при стремлении точки 
в бесконечность (ф-ия 
при 
, если для 
заданного 
число А>0 такое что 
при 
, где r – расстояние точки М от начала координат).
Пусть S – замкнутая поверхность. Обозначим через 
конечную область, ограниченную этой поверхностью; через 
- бесконечную область внешнюю к также ограниченную поверхностью S. Пусть на поверхности S заданы непрерывные функции 
.
Внутренняя задача Дирихле. Найти ф-ию 
гармоническую в области непрерывную в замкнутой области 
и принимающую на поверхности S заданные значения 
(1)
Внешняя задача Дирихле состоит в определении функции гармонической в , непрерывной в 
и удовлетворяющей условию (1).
Внутренняя задача Неймана. Найти ф-ию гармоническую в области такую чтобы ее производная 
по направлению внешней нормали в каждой точке поверхности S равнялась значению в этой точке заданной ф-ии 
(2).
Внешняя задача Неймана состоит в определении гармонической в ф-ии нормальная производная которой на поверхности S удовлетворяет условию (2).
Третья краевая задача. Найти ф-ию гармоническую в области непрерывную в и такую что 
в каждой точке поверхности S равно значению в этой точке заданной функции 
, где 
- заданная непрерывная ф-ия на поверхности S. Аналогично формируется 3-я внешняя краевая задача.
Уравнение Лапласа в сферических координатах: 
.
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах: 
.
Решение внутренней задачи Неймана 
в D,
существует лишь при условии 
. Это условие необходимо и достаточно и определено с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 217 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Б.2 В. 17 Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Единственность решения первой краевой задачи и задачи Коши. | | | Б.2 В.19 Функция Грина. Функция Грина для внутренней задачи Дирихле. |