Б.2 В. 17 Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Единственность решения первой краевой задачи и задачи Коши.

Процесс распространения температуры в стержне может быть описан функцией u(x,t) представляющей температуру в сечении x в момент времени t. Уравнение кот удовлетворяет ф-ия u(x,t) имеет вид: уравнение теплопроводности, где плотность теплового потока равная количеству тепла, протекшего в единицу времени через площадь в 1 , с – удельная теплоемкость, - плотность, F(x,t) – плотность тепловых источников в точке x в момент t. В частности если стержень однородный то ур-ие теплопроводности , если источники отсутствуют т.е. F(x,t)=0 то ур-ие теплопроводности имеет вид .

Принцип максимума. Если ф-ия u(x,t) определенная и непрерывная в замкнутой области и удовлетворяет уравнению теплопроводности (1) в точках области , то максимальное и минимальное значения ф-ии достигаются или в начальный момент или в точках границы x=0, или x=l.

Физический смысл этой теоремы: если температура на границе и в начальный момент не превосходит некоторого значения М, то при отсутствии источников внутри тела не может создаваться температура больше М.

Первая краевая задача состоит в отыскании решения ур-ия теплопроводности при , , удовлетворяющего условиям , , где , заданные функции.

Задача Коши о распределении температуры на бесконечной прямой: найти решение уравнения теплопроводности в области и удовлетворяющее условию , (), заданная ф-ия.

Теорема (единственности задачи Коши): Если и - непрерывные ограниченные во всей области изменения переменных ф-ии, удовлетворяющие ур-ию теплопроводности (, t>0) (2) и условию () то (, ).

Теорема (единственности 1-й краевой задачи): Если две функции и определенные и непрерывные в области удовлетворяют уравнению теплопроводности (для , ), одинаковым начальным и граничным условиям , то

Дата добавления: 2015-07-16