Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Диференціальні рівняння.

Приклад 10. | Схема дослідження. | Модуль 5 Інтегральні числення функцій. | Властивості невизначеного інтеграла | Методи інтегрування | Приклад 2. dx | Інтегрування методом підстановки | U·V - - формула інтегрування частинами | Властивості визначеного інтеграла | Правило обчислювання визначеного інтеграла. |


Читайте также:
  1. Диференціальні рівняння другого порядку.
  2. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
  3. Модуль 4. Диференціальні числення функцій.
  4. Модуль 4. Диференціальні числення функцій.

Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке пов’язує незалежну зміну х, шукану функ цію у та її похідну .

 

.

Порядок диференціального рівняння визначає порядок найвищої похідної.

Розв’язати диференціальне рівняння це значить звільнитись у рівнянні від похідних, або диференціалів.

Функція y=j(x, c), яка залежить від аргументу х і довільної сталої с, називається загальним розв’язком рівняння.

Частинним розв’язком рівняння називається функція y=j(x, c) при певному значенні сталої с=со.

Задача, яка складається з находження частинного розв’язку диференціального. рівняння із загального, використовуючи початкові умови, називається задачею Коші.

Елементарним диференціальним рівнянням першого порядку є рівняння з відокремлюваними змінними.

Рівняння виду (1) - називається диференціальним рівнянням з відокремлюванними змінними.

Правило розв’язування диференціальних рівнянь з відокремлюванними змінними:

 

1) відокремлюємо змінні;

Для цього замінимо на , поділимо обидві частини рівняння (1) на q(y) і помножимо на dx, тоді рівняння (1) запишеться у вигляді:

(2).

 

2) проінтегруємо обидві частини рівняння (2), отримаємо загальний розв’язок;

 

3) маючи початкові умови розв’язуємо задачу Коші.

 

Приклад 1. Розв’язати рівняння x (y2+1) dx + y (x2 - 1) dy = 0.

 

Розв’язання:

 

Поділимо всі члени рівняння на добуток (y2 + 1)(x2 - 1), одержимо:

 

, або

 

Інтегруємо обидві частини

маємо

 

 

Скоротивши на і пропотенціювавши останній вираз маємо - це загальний розв’язок даного рівняння.

 

Приклад 2. Знайти частинний розв’язок рівняння 2ydx=(1+x)dy, якщо y=4, коли x=1.

Розв’язання:

Відокремимо змінні, для цього обидві частини рівняння ділимо на y(1+x), маємо:

, інтегруємо

2ln(1+x) = lny+ lnc, звідки

(1+x)2 = yc - це загальний розв’язок рівняння.

 

Але за умовою задачі x=1, y=4 підставимо ці значення у загальний розв’язок

22 = 4·с, звідки с=1

При цій умові із загального розв’язку маємо у=(1+х)2 - це і є частинний розв’язок даного рівняння.

 


Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 41 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Метод підстановки| Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)