Закон распределения случайной величины — это

всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответ­ствующими этим значениям вероятностями или часто­тами (частостями).

Закон распределения случайных величин позволяет определить вероятность (частоту, частость) появления случайной величины в любом интервале ее возможных значений.

Дискретные (прерывные) случайные величины X могут принимать только ряд отдельных значений х\, х₂,..., *п, каждому из которых соответ­ствует некоторое значение вероятности Р\, /V, • • •> Рп- Рассматривая появление любого из перечисленных зна­чений прерывной случайной величины как события, заметим, что эти события образуют полную группу несовместных случайных событий, а следовательно

Распределение прерывной случайной величины мо­жет быть представлено в виде таблицы, называемой рядом распределения (табл. 2) или графически много­угольником распределения (рис. 21).

Таблица 2. Ряд распределения случайной величины
Значения случайной величины X	x1	x2	…	xn
Вероятность P(X=xi)=P	P1	P2	…	Pn

При графическом представлении (см. рис. 21) по оси абсцисс откладывают значения случайной величинылг_г-, а по оси ординат — вероятности Р_г, соответствующие этим значениям.

Ряд распределения и многоугольник распределе­ния— один из возможных форм представления зако­на распределения случайной величины.

Ряд распределения — удобная форма представле­ния закона распределения дискретной случайной вели­чины с конечным числом возможных значений. В слу­чае непрерывной случайной величины, которая имеет бесчисленное мпожегпю
значений, такая форма закона распределения непригодна. В данном случае использу­ют не вероятность события Pi(X = Xi), а вероятность со­бытия P(X<iXi). Это озна­чает, что случайная величи­на X примет значение, мень­шее какого-либо наперед вы­бранного значения х( — <х><

Функция (интегральный закон) распределения слу­чайной величины — наибо­лее универсальная характеристика как дискретных (прерывных), так и непрерывных случайных величин.

Если X – случайная величина, а x – некоторое действительное число, то вероятность того, что X<x:

где F(x) – функция распределения.

Функцию распределения можно представить в виде графика, если по оси абсцисс откладывать значение x, а по оси ординат – значение F(x).

Если X – дискретная величина, то на основании теории сложения вероятностей несовместных событий ее функция распределения будет иметь вид: .

Для дискретной случайной величины график функции распределения будет иметь вид ступенчатой кривой (рис. 22). С увеличением числа значений x число ступеней (скачков) будет увеличиваться, а их величина – уменьшаться.

Функцию распределения непрерывной случайной величины изображают плавной кривой (рис. 23). При любом значении x 0<F(x)<1.

В эмпирических распределениях возможные значения случайных величин оцениваются частотами или частностями, полученными в результате испытаний или опытов.

На практике при изучении непрерывных случайных величин их полученные значения делят на интервалы или разряды. После этого подсчитывают частоты не по действительным значениям случайной величины, а по разрядам, т. е. мы будем иметь дело не с частотами зафиксированных значений непрерывной случайной ве­личины, а с частотами их значений, лежащих в грани­цах установленного разряда или интервала.

В таблице эмпирического распределения (табл. 3) случайной величины указывают интервалы (разряды) значений x_i,

частоту m_i и частость .

Таблица 3. Эмпирический ряд распределения случайной величины
Значения случайной величины X
Частота (mi)	m1	m2	…	mn
Частость (mi / N = Wi)	m1 / N = W1	m2 / N = W2	…	mn / N = Wn

Эмпирическое распределение может быть изобра­жено в виде ступенчатого графика, называемого гисто­граммой распределения, или в виде ломаной линии (кривой, называемой поли­гоном распределения (рис. 24). Реже пользуются кри­вой накопленных частостей (накопленной эмпирической кривой распределения) или кумулятой.

На гистограммах или по­лигонах распределения по оси абсцисс откладывают интервалы полученных по наблюдениям значений случайных величин, а по оси ординат- — их частость или ча­стоту

(3.6)

Высота прямоугольника гистограммы равна частоте 1Пг' (частости W) распределения, а основание —интер­валам или разрядам, на которые разделены зафиксированные" значения xl

При построении гистограмм и эмпирических кривых распределения промежуток, внутри которого за­ключаются значения Xj, делят на равные интервалы (разряды).

Таким образом, функция распределения вероятнос­тей может характеризовать как дискретные (прерыв­ные), так и непрерывные случайные величины и явля­ется неубывающей функцией, изменяющейся от 0 до 1.

Функция распределения непрерывной случайной ве­личины имеет тот недостаток, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в не­большой окрестности той или иной точки на числовой оси.

О характере распределения непрерывной случайной величины в окрестностях различных точек можно су­дить на основании особой функции, которая называет­ся плотностью распределения вероятности или плот­ностью распределения.

Плотность распределения непрерыв­ной случайной вел и ч и и ы —это производная от функции распределения непрерывной случайной ве­личины:

Для дискретной величины функция плотности распреде­ления не существует.

Графически плотность рас­пределения представляет собой кривую распределения непре­рывных случайных величин (рис. 25).

Площадь элементарного прямоугольника, равную про­изведению f(x)dx, называют элементов вероятности.

Для определения вероятно­сти Р(Х<х) необходимо вы числить площадь, заключенную между кривой и осью в интервале от —оо до х.

Для этого необходимо сложить все элементы ве­роятностей, заключенные в данной площади в интер­вале от -∞ до х, т. е.

Плотность распределения характеризуется следую­щими основными свойствами.

1. Она неотрицательная функция от х вследствие того, что F(x) —неубывающая функция.

2. Площадь, ограниченная кривой f(x) и осью абсцисс (интеграл от плотности распределения в бесконечных пределах), равна единице, т. е.

При изучении случайных величин часто достаточно знать числовые характеристики распределения случай­ной величины.

Характеристики (параметры) распределения случай­ных величин. Числовые характеристики, подсчитанные по полученным значениям в процессе испытания или опыта случайной величины называют статистичес­кими характеристиками. Характеристики, определенные по теоретическим законам распределения, называются параметрами распределения.

Основными статистическими характеристиками слу­чайных величин, изучаемых в теории надежности, слу­жат среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонения.

Среднее арифметическое — это частное от деления суммы измеренных значений на число слагае­мых этой суммы, т. е. на число испытаний (опытов):

(3.7)

где - среднее арифметическое из N испытаний; x₁, x₂, …, x_n – отдельные измеренные значения наблюденной величины; N – число проведенных испытаний.

В том случае, когда среди полученных значений случайных величин имеются одинаковые, несколько раз повторяющиеся с определенной частотой, их сред­нее значение называется средней взвешенной.

Средняя взвешенная величина определяется по формуле:

(3.8)

Тогда

(3.9)

Для упрощения среднюю взвешенную очень часто подсчитывают по следующей формуле:

(3.10)

где А – произвольное число, которое подбирают так, чтобы разности (x_i – A) были возможно простыми и малыми числами.

Обычно А выбирают приблизительно равным сред­нему значению случайной величины на глаз или рав­ным значению, соответствующему наибольшей частоте значений случайной величины в ряду распределения.

Из формулы (3.10) следует, то средняя взвешенная подсчитывается как сумма произведений значений случайной величины Хг на соответствующие им частос­ти mi/N, т. е.

(3.11)

При достаточно большом числе испытаний частности приближенно равны соответствующей вероятности:

Заменив в формуле (3.11) относительные частоты соответствующими вероятностями,

(3.12)

получим для диск­ретной случайной величины равенство для определения математического ожидания:

Математическое ожидание дискретной случайной величины, подсчитанное по заданному зако­ну распределения, называется суммой парных произведений возможных значений случайной величины х\

на соответствующие им вероятности Pi.

Для непрерывной случайной величины:

(3.13)

Среднее значение характеризует центр группирования значений случайной величины. При N^-oo величи­на X стремится по значению к математическому ожи­данию, т. е. ХхMX.

Мода М„ эмпирической совокупности — это значение прерывной случайной величины Xi, соот­ветствующее наибольшей ординате полигона распреде­ления (рис. 26, а). За

моду прерывной случайной ве­личины принимают значение, имеющее наибольшую вероятность.

Мода Моо теоретического распределе­ мяльному значению плотности распределения f(x) (рис. 26, б).

Модой также называется значение признака, встре­чающееся с наибольшей частотой, т. е. значение приз-нака, наиболее типичное в данном статистическом ряду.

Медиана М _е или срединное значение эмпирической совокупности — это такое за­фиксированное значение случайной величины Xi, кото­рое.является срединным членом (объектом) в ряде значений, упорядоченных по их возрастанию или убы­ванию.

Другими словами, медианой называется значение признака, относительно которого эмпирическая сово­купность делится на две равные по числу членов части

Медиана М_ео теоретического распре­деления случайной в е л и ч и н ы — это такое значение xt, при котором вероятность появления вели­чин х, меньших Мео, равна вероятности появления ве­личин X, больших М_ео,

Ордината кривой распределения, соответствующая значению случайной величины х=М_во, делит площадь под кривой распределения на две равные части (рис. 27).

Если дифференциальная функция распределения f(x) симметрична относительно среднего арифметического значения X и имеет один максимум, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием, т. е.

Разброс случайной величины относительно центра распределения (среднеарифметической, математическо­го ожидания, моды или медианы) характеризуется мерами рассеивания.

К мерам рассеивания относятся: размах, дисперсия (рассеивание), среднее квадратическое отклонение (стандарт) и коэффициент вариации.

Лекция№7 Меры рассеивания случайных величин

1. Размах распределения

2. Дисперсия (рассеивание),

3. Среднее квадратическое отклонение (стандарт)

4. Коэффициент вариации

Литература: 1.[ 1 ], стр 53-61

2.[ 2 ], стр 73-76

К мерам рассеивания относятся: размах, дисперсия (рассеивание), среднее квадратическое отклонение (стандарт) и коэффициент вариации.

Размах R распределения (диапазон рассеивания) в эмпирической совокупности — разность между максимальным и минимальным из значений случайной величины Х_i, полученных в результате испытаний. Размах определяют по формуле:

(3.14)

Им пользуются в эмпирических распределениях как мерой рассеивания при малом числе испытаний N<25.

Рассеивание (степень изменчивости) случайной величины наиболее часто измеряют дисперсией (рассеиванием) и средним квадратическим отклонением, взятых с положительным знаком.

(3.15)

При

(3.16)

.

Эмпирическая дисперсия S² — величина рассеивания зафиксированных значений вокруг их среднего значения. При малом числе наблюдений, т. е. при N<25, эмпирическое среднее квадратическое отклонение и среднее квадратическое отклонение (стандарт) будут соответственно равны корням квадратным из дисперсии S² и из DX

Дисперсия для дискретной случайной величины теоретического распределения будет выглядеть так:

Для непрерывной, заданной плотностью вероятности f(x)

При

При малом числе наблюдений, т. е. при при N<25 размерность S и DX совпадает с размерностью самой случайной величины х.

При

Если при вычислении исходят не из отклонений от средней арифметической, а из непосредственно измеренных величин, то чтобы при вычислении не возводить в квадрат многозначные числа, можно пользоваться отклонениями от условно избранной любой постоянной величины А с последующим расчетом по формуле:

и определяет широту кривой распределения. На рисунке 28 изображено несколько кривых распределения с различными σ и одним и тем же х

Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно корню квадратному из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

Дисперсия суммы (разности) взаимно независимых случайных величин равна сумме (разности) их дисперсий:

 

Если взаимно независимые случайные величины одинаково распределены, средние квадратические отклонения σ каждой из них равны между собой и на основании формулы

Среднее квадратическое отклонение величины среднего арифметического значения X (средняя ошибка) составляет 1/N от σ_x и вычисляется так:

Таким образом, среднее квадратическое отклонение среднего арифметического σ_xодинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в 1/N раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин.

Где - максимальное по абсолютной величине отклонение, равное

Совокупность не содержит грубых погрешностей согласно критерию Райта в том случае, если при обработке результатов испытаний (опытов) может возникнуть необходимость сравнить различные распределения, а также рассеивание разнородных величин. Для сравнения рассеивания разнородных величин дисперсия и стандарт не могут быть использованы. В качестве отвлеченной меры рассеивания, не зависящей от единиц измерения сравниваемых величин, принимается коэффициент вариации или изменчивости v*.

Для эмпирического распределения он выражается через отношение эмпирического среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому. Он показывает, насколько велико рассеивание по сравнению со средним значением случайной величины.

Коэффициент вариации для теоретического распределения представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Коэффициент вариации может выражаться в процентах

Тот из рядов распределения имеет большее рассеивание, у которого больше коэффициент вариации

---

Дата добавления: 2015-11-16