Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Вид операторов и в декартовых и сферических координатах



Читайте также:
  1. Базирование конических, сферических и фасонных тел.
  2. Вывод: успешность деятельности операторов определяется их уровнем интеллекта, измеренном в IQ.
  3. Длина дуги в прямоугольных декартовых координатах
  4. Иностранные партнеры туристских фирм и зарубежные представители туроператоров
  5. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
  6. Кривые второго порядка в полярных координатах

По определению .

В координатном представлении

Введем безразмерный оператор такой, что

.

Используем

Таким образом для оператора

.

.

.

.

 

 

Переход из декартовых координат в сферические координаты:

Переход из сферических в декартовы координаты

Также используем:

(29.1)

Переход при имеет вид

.

Тогда в общем виде

.

Из (29.1) имеем

 

 

 

.

Теперь найдем:

Таким образом

Аналогично имеем

 

§ 30. Коммутационные соотношения с оператором

 

Раньше было получено:

 

и также

,

где - скалярный оператор.

Рассмотрим оператор .

Найдем коммутатор

или

из этого имеем

Найдем произведение

Аналогично

Теперь для

 

§ 31. Собственные функции и собственные значения операторов и

 

Для соотношения были получены ранее:

Т. к. операторы и - коммутируют

они обладают общим базисом.

Было показано, что

,

тогда его собственная функция удовлетворяет уравнению

Произведем разделение переменных

В этом случае, запишем

Здесь можно рассматривать как множитель, т. к. оператор на нее не действует.

Ранее было показано

Усредним

Здесь мы имеем равенство только тогда, когда m=0 и .

Таким образом получаем ограничение на среднее

и одновременно измеримы, т. к. они коммутируют. Это значит, что они одновременно измеримы и обладают общим базисом собственных функций. Тогда

.

Отсюда

,

Рассмотрим теперь соотношение

Подействуем этим оператором на функцию

для максимального , т. е.

.

Тогда

Так как - есть собственная функция оператора , то имеем

.

Обозначив

имеем

Это задача на собственные функции и собственные значения для оператора . Максимальное собственное значение для есть , но у нас . Таким образом .

Подействуем оператором

Тогда

Теперь

- орбитальное число.

Теперь

.

Выясняется, что

.

Здесь - полином Лежандра.

Условие нормировки для записанных шаровых функций

 

Рассмотрим величину орбитального момента:

Тогда

При переходе к классической механике: . Определим величину предела .

В классической механике существует величина момента импульса, тогда при мы не должны получать 0. Учтем произвол . Таким образом возникает . При этом

 

 

§ 32. Собственный механический момент (спин)

Рассмотрим Na. У него есть желтая линия. Возникает при переходе с уровня 3p на 3s.

Первоначально ее длина была 5892

Было обнаружено, что эта линия расщепляется на две: дублет.

Возникла идея расщепления уровня 3p на два, тогда можно объяснить возникновение двух линий.

Их длины: 5896 и 5890 .

В 1925 г. Была предложена гипотеза спина, т. е. собственного механического момента.

У электрона спиновое число s= .

Впоследствии Паули ввел спин в теорию.

Если имеем одну частицу, то она характеризуется орбитальным квантовым числом .

Составная частица (атом) состоит из многих микрочастиц. Можно рассматривать эту составную частицу в целом и приписать ей момент , который описывает орбитальное движение частицы как целого.

Энергетический уровень этой составной частицы в некоторых полях будет зависеть от орбитальных моментов микрочастиц .

Эти моменты являются внутренним свойством этой составной частицы.

Можно рассматривать 2 момента:

1) . Этот момент описывает внутреннее движение частицы (относительно центра инерции)

2) Частица сама движется по некоторой траектории.

У частицы есть еще квантовое число , характеризующее собственный механический момент.

Вводят оператор собственного механического момента:

По аналогии

Спин – внутреннее свойство частицы. Его смысл – у частицы есть внутренний параметр, который реагирует на вращение координат независимо от места положения частицы.

 


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 151 | Нарушение авторских прав






mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.017 сек.)