Функция дискретных случайных величин.

Под функцией f(x) случайной величины Х напоминают такую случайную величину У, которая принимает значение у=f(x) каждый раз, когда величина Х принимает значение х. Аналогично вводится понятие функции от нескольких слу­чайных величин, причем предполагается, что рассматри­ваемая функция определена для всех возможных значений аргументов.

Пусть известен закон распределения дискретной случайной величины Х.

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Закон распределения функции У = f(x) от дискретной случайной величины Х в предположении, что различным значениям Х_i соответствуют различные значения f(x_i) имеет вид:

Y	f(x1)	f(x2)	…	f(xn)
p	p1	p2		pn

так как величина У примет значение f(x _i) тогда и только тогда, когда величина Х примет значение x_i, поэ­тому вероятности этих событий равны:

Р(У=f(x₁)) = P(X=x₁)=P_i; i=1,2,...,n

Если при различных значениях Х_i получаются одинако­вые значения f(x₁), то необходимо применять теорему сложения вероятностей.

Х	х1	х2	х3
р	р1	р2	р3

Y	Y1	Y2
p^1	p1^’	p^’2

то закон распределения случайной величины Z=X+У бу­дет иметь вид:

Z	x1+y1	x2+y1	x3+y1	x1+y2	x2+y2	x3+y2
P’’	p1×p^’1	p2 × p^’1	p3×p^’1	p1× p^’2	p2× p2^’	p3×p^’2

то есть значения случайных величин необходимо сло­жить, а соответствующие вероятности перемножить.

Решение задач:

Задача 1. Дан перечень возможных значений дискрет­ной случайной величины Х:

Х₁ =1, Х ₂ =2, Х ₃ =3, а также известны математические ожидания этой вели­чины и её квадрата;

М(Х) = 2,3; М(Х²)=5,9.

Найти вероятности, соответствующие возможным значе­ниям X и дисперсию Д(Х).

Решение: Так как М(Х)=х₁р₁ + x₂ р₂ + х₃ р₃;

получим

Из (1) и (2) уравнений вычтем (3), тогда:

подставим во второе уравнение найдем р₃.

тогда

р₂=0,3

Теперь можно записать закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х
Р	0,2	0,3	0,5

Контроль:0,2+0,3+0,5=1

Задача 2. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны 2 детали. найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х- числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

Решение. Дискретная случайная величина Х число нестандартных деталей среди двух отобранных будет иметь следующие возможные значения: х₁=0, х₂=1, х₃=2. Найдем вероятности с которыми Х принимает эти значения:

Запишем закон распределения для дискретной случайной величины Х:

Х
Р

Для нахождения дисперсии, составим закон распределения для Х²:

Х^2
Р

Дисперсию найдем по формуле:

Ответ:

Задача 3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и У

Х
Р	0,1	0,2	0,7

У
Р	0,5	0,5

Найти М(2Х-3У) и Д(2Х-3У) двумя способами:

а) пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии;

б)составим закон распределения для Z=2Х-3У.

Решение: 1 способ:

М(2Х-3У)= М(2Х)-М(3У)= 2М(Х)-3М(У);

Найдем М(Х) и М(У):

Тогда М(2Х-3У)=2 ×5,2-3 × 4=-1,6

Найдем × М(Х²)=4 ×0,1+16× 0,2+36× 0,7=28,8

М(У²)=25 × 0,5 + 9 × 0,5=17:

Дисперсия Д(2Х-3У)=Д(2Х)+Д(3У)=4 Д(Х)+9Д(У).

Найдем Д(Х) и Д(У):

Тогда

II.Составим закон распределения для функции

Z=2X-3Y.

Z	2×2-3×5	2×2-3×3	4×2-3×5	4×2-3×3	6×2-3×5	6×2-3×3
P	0,1×0,5	0,1×0,5	0,2×0,5	0,2×0,5	0,7×0,5	0,7×0,5

или

Z	-11	-6	-7	-1	-3
P	0,05	0,05	0,1	0,1	0,35	0,35

Составим закон распределения Z²:

Z^2
P	0,05	0,05	0,1	0,1	0,35	0,35

Найдем M(Z) b M(Z²):

Дата добавления: 2015-08-13