Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного про­межутка.

Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возмож­ными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Закон распределения может быть задан таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая их вероятности:

Х	Х1	Х2	…	Х n
Р	р1	р2	…	pn

где

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):

или с помощью интегральной функции F(x)=P(X<x).

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для этого в прямоугольной системе координат ст-роят точки (Х_i,P_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Получен­ную фигуру называют многоугольникoм распределения.

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х- числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность воз­можного значения Х=k (числа k появлений события) вычис­ляют по формуле Бернулли:

Р_n (k) = C p ^k q^n-k

Если число испытаний велико, а вероятность появления события p в каждом испытании очень мала, то пользуются приближенной формулой Пуассона:

где k- число появлений события в n испытаниях, ( -среднее число появлений события в n испытаниях).

Решение задач:

Задача 1. В партии 10 % нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х- числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и пост­роить многоугольник полученного распределения.

Решение:

Дискретная случайная величина Х- число нестандартных деталей среди 4-х отобранных будет иметь следующие воз­можные значения:0,1,2,3,4.

Вероятность появления нестандартной детали будет равна:

Тогда

Для определения вероятностей возможных значении Х применим формулу Бернулли

Р_n (k) = C p ^k q^n-k

Напишем искомый биномиальный закон распределения диск­ретной случайной величины Х:

Х
p	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Контроль: 0,6561+0,2916+0,0486+0,0036+0,0001=1.

Построим многоугольник полученного распределения.

Задача 2. На косметическую фирму поступили товары в шести коробках, из которых четыре признаны стандартны­ми. Наудачу отобраны три коробки. Составить закон распреде­ления дискретной случайной величины Х- число стандартных коробок среди отобранных.

Решение:

Случайная величина Х- число стандартных коробок сре­ди отобранных трех имеет следующие возможные значения: Х₁ =0; Х ₂=1; Х ₃=2, Х₄ =3.

Найдем соответствующие этим возможным значениям вероятности.

Р(Х=0)=0; Это событие невозможное и вероятность равна 0, так как стандартных коробок 4, а взято 3, поэтому хотя бы одна коробка будет стандартной.

Составим искомый закон распределения:

Х
Р		0,2	0,6	0,2

Контроль: 0+0,2+0,6+0,2 = 1.

Задача 3. Устройство состоит из 1000 элементов, ра­ботающих независимо один от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут: а) ровно 3 эле­мента; б) менее трех; в) более трех; г)хотя бы один элемент.

Решение: По условию n=1000, p=0,002; R=3. Устройство состоит из независимо работающих элементов, число n-велико, а вероятность p мала, поэтому применим закон Пуассона

а) Найдем l= n× p =1000 × 0,002 = 2;

б) Найдем вероятность, что за время Т откажет менее 3 элементов:

Р₁₀₀₀ (К<3)=P₁₀₀₀ (К=0) + P₁₀₀₀ (К=1)+ P₁₀₀₀ (К=2)=

=

в) Найдем вероятность того, что за время Т откажут более трех элементов: события "откажут более трех элементов" и "откажут не более трех элементов" противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице, т.е.

Р₁₀₀₀ (К>3) + P₁₀₀₀ (К£ 3)=1; Отсюда Р ₁₀₀₀(К>3)=

1-P₁₀₀₀ (К£ 3) =

= 1 - [P₁₀₀₀ (0)+P₁₀₀₀ (1)+ P₁₀₀₀ (2)+P₁₀₀₀ (3)]=

= 1 - (0,68 + 0,18)=1 - 0,84 = 0,14.

г) Найдем вероятность, что за время Т откажет хотя бы один элемент:

Задача 4. Среднее число вызовов поступающих на фирму «Казахтелеком» в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит:

а) 4 вызова; б)менее 4-х вызовов; в)не менее 4-х вызовов; Поток вызовов предполагается простейшим.

Решение. По условию l =3, t=2 мин; К=4. Применим формулу Пуассона для простейшего события:

а) Вероятность того, что за 2 минуты равно 4 вызова

б) Событие поступило менее четырех вызовов произой­дет, если наступит одно из следующих несовместных собы­тий:

1) поступило 3 вызова;

2) поступило 2 вызова;

3)поступил один вызов;

4)не поступило ни одного вызо­ва. Эти события несовместны, поэтому

Р₂ (К<4)=P₂(3)+P₂(2)+P₂(1)+P₂(0)= =

в)События "поступило менее четырех вызовов" и "пос­тупило не менее четырех вызовов" противоположны, поэто­му вероятность того, что за 2 минуты поступит не менее четырех вызовов. Р(К³4)=1-P(К<4)= 1-0,1525 = 0,8475

Задача 5. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,002.Найдите закон распределения случай­ной величины х, равной числу поврежденных изделий, и найдите вероятности следующих событий:

А- повреждено менее 3 изделий;

В- повреждено более 2 изделий;

С- повреждено хотя бы одно изделие.

Решение. Возможные значения х: 0,1,2,...,500; так как n=500 велико, а p=0,002 мало, то, положив l=500×0,002=1, вычислим вероятности p_к = p (x=К)

приближенно по формуле Пуассона.

Закон распределения случайной величины х приближен­но имеет вид:

хк					…
рк					…

или

хк					…
р	0,368	0,368	0,184	0,061	…	0,000

­Используя полученную таблицу, находим вероятности событий А,В, и С.

p(A) = p(x<3) = ({0,1,2})=0,368+0,368+0,184= 0,92;

p(В) =p(x>2)=1-p(x£2)=1-p({0,1,2})=0,08;

p(C)=p(x³1)=1-p(x£0)=1-p({0}) =1-0,368=0,632.

Дата добавления: 2015-08-13