Основные теории прочности

Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка проч­ности детали по известному напряженному состоянию, т, е. по извест­ным главным напряжениям в точках тела. Наиболее просто эта задача решается при простых видах деформации, в частности при одноосном напряженном состоянии, так как в этом случае значения предельных (опасных) напряжений легко

Рис.1 Рис.2

установить экспериментально. Напомним, что опасным напряжением для пластичных материалов является пре­дел текучести, а для хрупких — временное сопротивление. Причем опасным является не только величина напряжения, а состояние, которого достигает материал в момент, когда напряжение достигает опасной величины. Т.е. и соответствующая этому состоянию деформация, которая является второй координатой, вторым независимым параметром диаграммы условных напряжений. Условие прочности при одноосном напряженном состоянии (рис,1а) принимает вид: σ₁≤[σ₊]; σ₃≤ [σ]

где [σ₊] и [σ] — допускаемые напряжения соответственно при растя­жении и сжатии.

В случае сложного напряженного состояния, когда два или все три главных напряжения σ₁, σ₂ и σ₃ не равны нулю (рис. 1, 6), пре­дельное (опасное) состояние для одного и того же материала может иметь место при различных предельных значениях главных напряже­ний в зависимости от соотношения между ними. Поэтому эксперимен­тальная проверка опасного состояния из-за бесчисленного множества возможных соотношений между σ₁, σ₂ и σ₃ и трудности осуществления таких экспериментов практически исключается. Кроме того, чтобы изобразить графически опасное состояние в случае трехосного напряженного состояния необходимо иметь шесть независимых осей, чтобы отложить на них три напряжения и три деформации, что затруднительно в трехмерном пространстве.

Другой путь решения поставленной задачи заключается в выборе критерия прочности (критерия предельного напряженно-деформиро­ванного состояния). Для этого вводится гипотеза о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора.

При этом предусматривается возможность проверки выбранного критерия проч­ности сопоставлением данного сложного напряженного состояния с простым, например, с одноосным растяжением (рис.2, а, б), и ус­тановления такого эквивалентного напряжения, которое в обоих слу­чаях дает одинаковый коэффициент запаса прочности. Под последним в общем случае напряженного состояния понимают число n, показы­вающее, во сколько раз нужно одновременно увеличить все компонен­ты напряженного состояния (σ₁, σ₂ и σ₃), чтобы оно стало предельным: = n·σ₁; = n·σ₂; = n·σ₃

Выбранные таким образом гипотезы называют механическими тео­риями прочности.

Критерий наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности). Предполагается, что опасное состояние тела, находящего­ся в условиях сложного напряженного состояния, определяется уров­нем одного наибольшего нормального напряжения. σ₁ = или l σ₃l =

Условие прочности с коэффициентом запаса n имеет вид: σ₁≤ [σ₊] или lσ₃l ≤ [σ] где [σ] = Эта теория подтверждается на практике только для весьма хрупких и достаточно однородных материалов (стекло, гипс, некоторые виды керамики).

Критерий наибольших относительных линейных деформаций (вторая теория прочности). За критерий предельного состояния принимают наи­большую по абсолютной величине линейную деформацию, т.е. условие разрушения: = Условие прочности имеет вид = ≤ [ε] = Учитывая, что [ε] = [σ]/Е, а также, что ε₁ = условие прочности можно представить в виде ≤ [σ]

С допускаемым напряжением нужно сравнивать не то или иное главное напряжение, а их комбинацию. Эквивалентное напряжение в этом случае будет =

Эта теория имела довольно широкое распространение, однако ввиду малой достоверности в настоящее время в расчетной практике не реко­мендуется.

Критерий наибольших касательных напряжение (третья теория проч­ности). Предполагается, что опасное состояние нагруженного тела оп­ределяется уровнем максимального касательного напряжения. Условия прочности имеют вид: s w:val="28"/></w:rPr><m:t>П„</m:t></m:r></m:e><m:sub><m:r><m:rPr><m:sty m:val="bi"/></m:rPr><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria"/><wx:font wx:val="Cambria"/><w:b/><w:i/><w:color w:val="FF0000"/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>мах</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> ≤ [τ] = Имея в виду, что = а [τ] = условие прочности через главные напряжения запишется так: ≤ [σ] а эквивалентное напряжение по третьей теории прочности определится =

Эта теория дает хорошие результаты для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. Недостатком третьей тео­рии является то, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения σ₂. которое оказывает определенное, хотя в большинстве случаев и незначительное, влияние на прочность материала.

Это условие вполне удовлетворительно описывает начало пластической деформации материалов, для которых характерна ее локализация.

Критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (чет­вертая теория прочности). Предполагается, что опасное (предельное) состояние нагруженного тела определяется предельной величиной на­копленной удельной энергии формоизменения. Последнюю можно определить при простом растяжении в момент начала текучести u_фмах = u_ф^оп = u_{ф т}

Условие прочности будет u_фмах ≤

Полагая, что материал следует закону Гука вплоть до наступления предельного состояния, на основании того, что u_ф= и при простом растяжении в момент начала текучести (σ₁ = σ_т; σ₂ = σ₃ = 0) получаем u_фт = >

Условие прочности после подстановки u_ф и значения u_фт из послед­него равенства принимает вид: ≤ =[σ] Или если использовать второй вариант выражения удельной потенциальной энергии формоизменения ≤ =[σ]

Расчетное уравнение четвертой теорий прочности так же можно получить исходя из критерия постоянства октаэдрических касательных напря­жений

Такая трактовка освобождает рассматриваемую теорию прочности от ограничений, связанных с областью применимости закона Гука, и дает возможность установить начало не только пластической деформаций, но и раз­рушения. Четвертая теория прочности при­менима для пластичных материалов, оди­наково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Критерий Кулона — Мора. Этот крите­рий основан на предположении, что проч­ность материала в общем случае напряжен­ного состояния зависит главным образом от величины и знака наибольшего и наименьшего главных напряжений (погрешность, связанная с тем, что не учитывается , обычно не превышает 12—15 %). Исходя из это­го предположения любое напряженное состояние можно представить одним кругом Мора, построенным на главных напряжениях и -

Рис.3

Если при данных и нарушается прочность материала, то круг, построенный на этих напряжениях, называется предельным. Из­меняя соотношение между и , получаем для данного материала семейство предельных окружностей (рис.3). Огибающую АВСДЕ семейства предельных кругов можно с достаточной степенью точности заменить прямыми, касательными к кругам Мора, построенным для растяжения, с диаметром, равным временному сопротивлению при рас­тяжении σв, и для сжатия — с диаметром, равным временному сопро­тивлению материала при сжатии σв сж (рис.4).

Очевидно, рис.4 может быть перестроен в масштабе допускае­мых напряжений (рис.5). Диаметр круга для растяжения равен [σ+] =σв/n, а для сжатия — [σ_] = σв.сж/n

Из рассмотрения подобия треугольников О₁ О₂ а и О₁ О ₃b находим условие прочности - ≤ [σ+]

Эквивалентное напряжение по рассмотренной теории Мора = -

Теория прочности Кулона — Мора позволяет установить сопро­тивление разрушений материалов, обладающих разным сопротивле­нием растяжению и сжатию (хрупких материалов), и имеет существен­ное преимущество перед первой и второй теориями.

Следует подчеркнуть, что хрупкое или пластичное состояние мате­риала определяется не только его свойствами, но и видом напряженного состояния, температурой и скоростью нагружения. Как показывают опыты, пластичные материалы при определенных условиях нагружения и

Рис. 4 Рис. 5

температуре ведут себя как хрупкие, а хрупкие материалы при опре­деленных напряженных состояниях могут вести себя как пластичные.

Дата добавления: 2015-08-05