Основы теории подобия

Теория подобия позволяет сделать из дифференциальных уравне­ний и условий однозначности ряд выводов, не прибегая к интегриро­ванию, и тем самым дает теоретическую базу для постановки опытов и обработки экспериментальных данных.

Теория подобия — это учение о подобии явлений. Впервые с понятием подобия мы встречаемся в геометрии, откуда этот термин и заимствован.

Понятие подобия может быть распространено на любые, физические явления. Можно го­ворить, например, о подобии картины движения двух потоков жидкости — кинематическом по­добии; о подобии сил, вызываю­щих подобные между собой дви­жения,— динамическом подобии; о подобии картины распределе­ния температур и тепловых потоков — тепловом подобии и т. д. В общем случае понятие подобия физических явлений сводит­ся к следующим положениям:

а) Понятие подобия в отношении физических явлений приме­нимо только к явлениям одного и того же рода, которые качест­венно одинаковы и аналитически описываются одинаковыми урав­нениями как по форме, так и по содержанию.

Если же математическое описание двух каких-либо явлений одинаково по форме, но различно по физическому содержанию, то такие явления называются аналогичными. Такая аналогия сущест­вует, например, между процессами теплопроводности, электропро­водности и диффузии.

б) Обязательной предпосылкой подобия физических явлений
должно быть геометрическое подобие. Последнее означает, что подобные явления всегда протекают в геометрически подобных си­стемах.

в) При анализе подобных явлений сопоставлять между собой
можно только однородные величины и лишь в сходственных точ­ках пространства и в сходственные моменты времени.

Однородными называются такие величины, которые имеют один и тот же физический смысл и одинаковую размерность. Сход­ственными точками геометрически подобных систем называются, такие; координаты которых удовлетворяют условию:

	(4.18)

х" = с_l x', у" = c_l y', z" = c_l z'.

Два промежутка времени τ' и τ" называются сходственными, если они имеют общее начало отсчета, и связаны преобразовани­ем подобия, т.е. τ" = с_ττ'.

(4.19)

г) Наконец, подобие двух физических явлений означает подо­бие всех величин, характеризующих рассматриваемые явления. Это значит, что в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени любая величина φ' первого явления пропорциональна однородной с ней величине φ" второго явления, т. е.

φ" = с_φ φ'.

Коэффициент пропорциональности с_φ называется постоянной подобия (константой) или множителем подобного преобразования величины φ; ни от координат, ни от времени с_φ не зависит. При этом каждая физическая величина φ имеет свою постоянную подо­бия с_φ, численно отличную от других. Чтобы знать, к какой величи­не относится постоянная подобия, при каждой из них ставится со­ответствующий индекс.

Таким образом, сущность подобия двух явлений означает по­добие полей одноименных физических величин, определяющих эти явления. Так, в процессе конвективного теплообмена температура, скорость, давление, а также часто и физические параметры среды (коэффициенты вязкости, теплопроводности, плотность и др.) в различных точках потока могут иметь различные значения. По­добие двух таких процессов означает подобие всех этих величин во всем объеме рассматриваемых систем, т.е. подобие полей этих величин. Для каждой из этих величин: скорости w, температурно­го напора Δt и т. д. — существует своя постоянная подобия с_w, с_{Δ t} и т. д. Полный перечень всех величин, характеризующих рас­сматриваемые явления, может быть установлен только при нали­чии математического описания явлений.

Постоянные подобия для различных величин в подобных явле­ниях нельзя назначать или выбирать произвольно. Между ними всегда имеются строго определенные соотношения, которые выво­дятся из анализа математического описания процессов. Эти соот­ношения имеют центральное значение в теории подобия, так как они устанавливают существование особых величин, называемых инвариантами или критериями подобия, которые для всех подоб­ных между собой явлений сохраняют одно и то же числовое зна­чение. Критерии подобия являются безразмерными комплексами, составленными из величин, характеризующих явление.

Числа подобия принято называть именами крупных ученых, известных своими работами в области теплообмена и гидродинамики.

Произведение чисел и частное от их деления также представляют собой числа подобия. Для характеристики подобия явлений можно применять константы подобия и числа подобия. Константы подобия сохраняют числовое значение только для двух подобных явлений, но они остаются одинаковыми для всех сходственных точек рассматри­ваемых систем. Числа подобия сохраняют свое числовое значение в сходственных точках всех подобных между собой систем, но в раз­личных точках одной и той же системы они могут иметь разные число­вые значения.

Безразмерные числа подобия представляют собой новые перемен­ные, введение которых значительно уменьшает число величин под знаком функции. Количественная связь между числами подобия опре­деляется опытным путем.

Теория подобия может применяться тогда, когда не только из­вестен список необходимых величин для исследуемого явления, но я имеется система дифференциальных уравнений, которая устанавливает взаимную связь между физическими величинами, участвующими в явлении. Эти уравнения должны быть сформулированы для того частного случая, который является объектом исследования. Присое­динение к ним условий однозначности делает исследование опреде­ленным и позволяет применять теорию подобия. Поэтому во всех слу­чаях, когда уравнения связи могут быть найдены, метод анализа урав­нений есть единственно правильный путь применения теории подобия. Таким образом, достоинством теории подобия является надежность решений, полученных при ее применении. Она будет такой же, какой является надежность решений, получаемых чисто аналитическим путем.

В основу теории подобия физических явлений положены три теоремы. Две первые из них говорят о явлениях, подобие которых заранее известно, и формулируют основные свойства подобных между собой явлений. Третья теорема обратная. Она устанавливает признаки, по которым можно узнать, подобны ли два явления друг другу.

Первая теорема подобия для подобного течения двух жидкостей была высказана И. Ньютоном в 1686 г. Однако строгое доказательство теоремы было дано Ж. Бертраном в 1848 г.

Согласно первой теореме, у подобных явлений числа подобия численно одинаковы.

Из второй теоремы подобия следует, что если результаты любого эксперимента обработать в числах подобия, то зависимость между ними необходимо выражать в виде уравнения подобия. Уравнением подобия называют такое уравнение, которое любую зависимость между величинами, характеризующими данное явление, представляет зави­симостью между числами подобия К₁, К₂, К₃, …., К_n или

	(4.20)

f (К₁, К₂, К₃, …., К_n) = 0.

Третья теорема подобия устанавливает необходимые условия для того, чтобы явления оказались подобными друг другу. Формулировка ее была дана М. В. Кирпичевым и А. А. Гухманом, а доказательство теоремы — М. В. Кирпичевым в 1933 г.

Третья теорема исходит из предположения, что явления протекают в геометрически подобных системах (поэтому геометрическое подобие систем есть первое необходимое условие для существования подобия), что для рассматриваемого явления можно составить дифференциальные уравнения, что установлено существование и единственность решения уравнения при заданных граничных условиях, что известны числен­ные значения коэффициентов и физических параметров, входящих в дифференциальное уравнение.

Совокупность всех перечисленных условий называется условиями однозначности явления. Условия однозначности выделяют из всей группы явлений, описываемых дифференциальным уравнением, одно единственное конкретное явление. Значит, подобие условий однознач­ности есть второе необходимое условие подобия.

Дополнительным условием подобия является равенство чисел по­добия, составленных из одних только величин, входящих в условия однозначности. Такие числа подобия называют определяющими. Если два явления имеют подобные условия однозначности, то их числа по­добия одинаковы. Числа подобия, в которые входят искомые вели­чины, называют определяемыми. Третья теорема утверждает, что добав­ление третьего дополнительного условия к предыдущим достаточно для того, чтобы явления оказались подобными.

Таким образом, третья теорема подобия может быть сформулиро­вана следующим образом: подобны те явления, условия однозначности которых подобны, и числа подобия, составленные из условий однознач­ности, численно одинаковы.

Если условия однозначности подобны и определяющие числа подобия численно равны, то это влечет за собой равенство всех остальных определяемых чисел подобия. Следовательно, каждое из определяе­мых чисел подобия есть однозначная функция совокупности определя­ющих чисел подобия. Этот вывод имеет важное значение для обобщения данных опыта.

Теория подобия дает общие методические указания, как поступать в каждом отдельном случае при анализе уравнений, описывающих явление, устанавливает пути для правильной постановки опыта и дает указания по обработке полученных результатов. Вследствие это­го, например, проведение эксперимента и обработка результатов опыт­ного изучения такого сложного процесса, как конвективный тепло­обмен, становится на научную основу, а результаты исследования получают значительную теоретическую и практическую ценность. Теория подобия устанавливает также условия, при которых результаты экспериментальных исследований можно распространить на другие явления, подобные рассматриваемому. Если же дано конкретное яв­ление и его хотят исследовать на модели, то теория подобия содержит методические указания по расчету и построению модели, подобной натуре. В заключение можно сказать, что теория подобия является научной основой проведения экспериментов по изучению процессов теплообмена и обобщения результатов опыта.

Дата добавления: 2015-08-03