Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Несколько задач о делителях

Читайте также:
  1. I. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ БЮДЖЕТНОЙ ПОЛИТИКИ НА 2010 ГОД И ДАЛЬНЕЙШУЮ ПЕРСПЕКТИВУ
  2. I. Основные задачи бюджетной политики на 2010 год и дальнейшую перспективу
  3. II. Основные задачи на новый бюджетный цикл
  4. II. Основные цели и задачи
  5. III. 12.2. Мышление и решение задач
  6. III. ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ БЮДЖЕТНОЙ ПОЛИТИКИ
  7. III. Постановка художественной задачи.

Существует единственное число n = 1, которое имеет только один делитель. Числами с ровно двумя делителями являются простые числа n = р: они делятся на 1 и на р. Наименьшим числом, имеющим два делителя, является, таким образом, р = 2.

Исследуем числа, имеющие ровно 3 делителя. В соответствии с формулой имеем

3 = (α 1 + 1) (α 2 + 1)… (αr + 1).

Так как 3 — простое число, то справа может существовать лишь один множитель, не равный 1. Отсюда r = 1, a α 1 = 2. Таким образом,

n = p 12.

Наименьшим числом с 3 делителями является n = 22 = 4. Это соображение, примененное к общему случаю, когда число делителей q является простым числом, позволяет получить, что

q = α 1 + 1, т. е. α 1 = q — 1 и n = р1 q -1;

наименьшим из таких чисел является

n = 2 q -1.

Рассмотрим следующий случай, когда существует ровно 4 делителя. Тогда соотношение

4 = (α 1 + 1) (α 2 + 1),

возможно только тогда, когда

α 1 = 3, α 2 = 0 или α 1 = α 2 = 1.

Это приводит к двум возможностям:

n = p 13, n = p 1 p 2;

наименьшее число с 4 делителями — это n = 6.

В том случае, когда имеется 6 делителей, должно выполняться соотношение

6 = (α 1 + 1) (α 2 + 1),

что возможно лишь тогда, когда

α 1 = 5, α 2 = 0 или α 1 = 2, α 2 = 1.

Это дает две возможности:

n = p 15, n = p 12 p 2;

при этом наименьшее значение имеет место в последнем случае, когда

p 1 = 2, p 2 = 3, n =12.

Этот метод можно использовать для вычисления наименьших натуральных чисел, имеющих любое заданное количество делителей.

Существуют таблицы, указывающие количество делителей для различных чисел. Они начинаются следующим образом:

Вы легко можете ее самостоятельно продолжить.

Будем говорить, что натуральное число n является сверхсоставным, если количество делителей у каждого числа, меньшего n, меньше, чем количество делителей у числа n. Глядя на нашу небольшую таблицу, мы видим, что

1, 2, 4, 6, 12

являются первыми пятью сверхсоставными числами. О свойствах этих чисел известно еще очень мало.


Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 70 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Основная теорема о разложении на множители| Совершенные числа

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)