Условный экстремум при смешанных ограничениях

В этом случае утверждения, 2.1.1 - 2.1.4 остаются без изменения.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на условный экстремум, достаточно:

1. Составить обобщённую функцию Лагранжа:

L (X, l ₀, L)= l ₀ f (X)+

2. Составить систему:

(2.4.1)

3. Решить систему (2.4.1) для двух случаев:

а) l ₀=0;

б) l ₀=1.

В результате находятся условно-стационарные точки X *.

4. Для условно стационарных точек X *, полученных в пункте 3, проверить достаточные условия экстремума. Для этого:

1) определить число l ограничений-равенств и активных ограничений-неравенств в точке X *;

2) если l = n и >0 для всех i Î I_a, то в точке X * - локальный минимум. Если l = n и <0 для всех i Î I_a, то в точке X * - локальный максимум. Если l < n или соответствующие множители Лагранжа не удовлетворяют достаточным условиям первого порядка, то проверить достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) записать выражение для второго дифференциала классической функции Лагранжа в точке (X *, L ^*):

d ² L (X *, L ^*)= ;

2) записать условия, накладываемые на первые дифференциалы активных ограничений:

(2.4.2)

3) исследовать знак второго дифференциала функции Лагранжа для ненулевых dx, удовлетворяемых системе (1.4.2). Если d ² L (X *, L ^*)>0, то в точке X * - условный локальный минимум. Если d ² L (X *, L ^*)<0, то в точке X * - условный локальный максимум.

Если достаточные условия первого и второго порядка не выполняются, то проверяется выполнение необходимых условий второго порядка. Если они не выполняются, то в точке X * нет условного экстремума, а если выполняются, то требуется дополнительное исследование.

5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

Пример III. Исследовать на условный экстремум функцию:

f (X)= ®extr

Решение. Имеем

j ₁(Х)= = , j ₂(Х)=

1. Составим функцию Лагранжа:

L (X, l ₀, L)= l ₀()+ l ₁()+ l ₂().

2. Составим систему (2.4.1). Имеем

=2 l ₀ x ₁+2 l ₁ x ₁+2 l ₂ x ₁=2 x ₁(l ₀+ l ₁+ l ₂),

=2 l ₀(x ₂-4)+2 l ₁(x ₂+4)+2 l ₂ x ₂.

Поэтому

3. Решим систему для двух случаев:

a) l ₀=0. Система принимает вид

а.1) x ₁=0. Тогда из третьего уравнения имеем x ₂=0, а второе и последнее дают l ₁= l ₂=0, то есть l ₀= l ₁= l ₂=0, что невозможно.

а.2) x ₁≠0. Тогда l ₁+ l ₂=0 и l ₁=- l ₂≠0 и второе уравнение даёт l ₁(x ₂+4- x ₂)=0, то есть 4 l ₁=0, что невозможно.

Таким образом, условно-стационарных точек при l ₀=0 нет.

б) l ₀=1. Система принимает вид

б.1) x ₁=0. Тогда из третьего уравнения имеем x ₂=0, подставляя которое во второе, получаем -4+4 l ₁=0, то есть l ₁=1. Последнее уравнение системы даёт l ₂=0. Таким образом, ()=(0; 0; 1; 0) - условно-стационарная точка.

б.2) x ₁≠0. Тогда l ₁=-1- l ₂. Предположим, l ₂≠0. Тогда имеет место система

откуда . Решаем последнее уравнение: х ₂= . Подставляя во второе, получаем х ₁=± . Подставляя найденное значение х ₂ во второе уравнение исходной системы, получаем 7 l ₁- l ₂=9 и приходим к системе

решением которой является l ₁=1, l ₂=-2. Таким образом,

()=(; ; 1 -2), ()=(- ; ; 1 -2) -

ещё две условно-стационарные точки.

Если предположить, что l ₂=0, то l ₁=-1. Тогда второе уравнение системы даёт х ₂-4-(х ₂+4)=0, то есть -8=0 - противоречие.

Таким образом, условно-стационарных точек три:

A =()=(0; 0; 1; 0), B =()=(; ; 1 -2),

C =()=(- ; ; 1 -2),

при этом в точке A имеем l ₂=0, то есть l ₂³0 и l ₂£0, в точке выполняются необходимые условия как для минимума, так и для максимума. В точках B и C имеем l ₂=-2£0, и в этих точках выполняются необходимые условия для максимума.

4. Проверим достаточные условия экстремума в найденных точках.

Имеем

= =2(l ₀+ l ₁+ l ₂), = =0.

Поэтому d ² L =2(l ₀+ l ₁+ l ₂)(d + d ).

а) В точке X *=(0, 0) ограничение не является активным, так как j (X *)=-4<0. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка. В точке А имеем l ₀= l ₁=1, l ₂=0. Поэтому d ² L (А)=4(d + d ). Имеем dj ₁=2 x ₁ dx ₁+2(x ₂+4) dx ₂, dj ₁(А)=8 dx ₂=0 Û dx ₂=0. Поэтому d ² L (А)=4 d >0 при dx ₁≠0 (так как ограничение j ₂(Х)£0 пассивно, то J_a =Æ и условие dj ₂(Х)=0 не рассматривается). Следовательно, в точке A - условный локальный минимум.

б) В точках B и C ограничение-неравенство активно, так как j ₂(Х ^*)=0. Поэтому суммарное число активных ограничений-неравенств в точках и и ограничений равенств равно числу переменных. Так как l ₂=-2, то в точках выполняются достаточные условия максимума первого порядка и оно является точкой локального максимума.

5. Вычислим значение функции в точках условного экстремума:

f _min(X)= f ()= f (0, 0)=16,

f _max(X)= f ()= f ()= =19

Ответ: =(0, 0) - точка регулярного условного локального минимума, f _min(X)=16; = и = - точки регулярного условного локального максимума, f _max(X)=19.

Дата добавления: 2015-07-20