Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Достаточные условия локальных экстремумов функции.

Читайте также:
  1. I.3 Особенности управления тормозами в зимних условиях
  2. II. Порядок и условия оплаты труда
  3. II. УСЛОВИЯ ПРОВЕДЕНИЯ СОРЕВНОВАНИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОБЕДИТЕЛЕЙ
  4. II. Экологические условия почвообразования.
  5. II. Экономия на условиях труда за счет рабочего. Пренебрежение самыми необходимыми затратами
  6. II. Экономия на условиях труда за счет рабочего. Пренебрежение самыми необходимыми затратами – продолжение 1
  7. II. Экономия на условиях труда за счет рабочего. Пренебрежение самыми необходимыми затратами – продолжение 2

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если или , то точка называется критической точкой функции . Точка называется стационарной точкой функции , если .

Теорема. Все точки локального экстремума находятся во множестве её критических точек.

Доказательство. Пусть функция имеет в точке локальный экстремум. Тогда если , то по теореме Ферма . Следовательно, точка является критической точкой данной функции. Теорема доказана.

Обратное утверждение не верно. Действительно, например, для функции в точке , но точка не является точкой локального экстремума для данной функции.

Вспомним обозначения правой и левой проколотых окрестностей точки .

Теорема (1-е достаточное условие локального экстремума функции). Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки (), дифференцируема в проколотой окрестности этой точки () и производная функции в и в сохраняет постоянный знак. Тогда если

а) , а , то функция имеет в точке строгий локальный минимум;

б) , а , то функция имеет в точке строгий локальный максимум;

в) или , то функция не имеет в точке локальный экстремум.

Доказательство. Докажем пункт а). Пункты б) и в) доказываются аналогично.

Пусть . Тогда по условию теоремы , и по теореме Лагранжа . Так как , то , откуда .

Пусть . Тогда по теореме Лагранжа . Так как , то , откуда . Таким образом мы получили, что , следовательно, функция имеет в точке строгий локальный минимум. Теорема доказана.

Теорема (2-е достаточное условие локального экстремума функции). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и , . Тогда если

1) и

а) , то функция имеет в точке строгий локальный минимум;

б) , то функция имеет в точке строгий локальный максимум;

2) , то функция не имеет в точке локальный экстремум.

Доказательство. Так как , , то по формуле Тейлора в имеет место равенство

.

Запишем данное равенство в виде . Обозначим . Так как ,то по лемме о сохранении знака (функция имеет такой же знак, что и ). Тогда если

1) и

а) , то в , т.е. , а, следовательно, функция имеет в точке строгий локальный минимум;

б) , то в , т.е. , а, следовательно, функция имеет в точке строгий локальный максимум;

2) , то в и в , т.е. имеет разные знаки в и в , следовательно, функция не имеет в точке локальный экстремум. Теорема доказана.

Следствие. При получаем, что если , а , то функция имеет в точке строгий локальный минимум; если , а , то функция имеет в точке строгий локальный максимум.

Пример. Найдём экстремумы функции . Сначала найдём критические точки данной функции.

.

Критические точки .

.

Так как , то, пользуясь следствием второго достаточного условия локального экстремума, заключаем, что данная функция имеет в точке локальный минимум. Так как , то данная функция имеет в точке локальный максимум.


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 91 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Для функции прямые являются вертикальными асимптотами, так как , .| Точки перегиба функции.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)