Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Интерполяционная формула Лагранжа

Читайте также:
  1. III. Формула внешнего выражения роли
  2. А. Основная Формула (Подготовка)
  3. А. Упрощенная Базовая Формула
  4. А.3 Примеры решения задачи интерполяции с использованием формулы Лагранжа
  5. Всеобщая формула капитала
  6. ГАУССА КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА
  7. Глава 12. Формула власти 1 страница

Интерполяционные формулы Ньютона пригодны лишь для равноотстоящих узлов интерполирования. Рассмотрим интерполяционную формулу Лагранжа, которая применима при любом расположении узлов. Пусть дана система точек x 0, x 1, …, xn, принадлежащих некоторому отрезку [ a, b ] и известны соответствующие значения функции yi = f (xi). Найдем многочлен Ln (x), удовлетворяющий условиям Ln (xi) = yi.

При построении многочлена Лагранжа используются многочлены n -й степени pi (x), принимающие значение 1 в точке xi и нулевые значения в остальных узлах интерполяции xj, j ≠ i. Так как xj при j ≠ i являются корнями многочлена pi (x), то справедливо разложение pi (x) на множители

 

pi (x) = Ci (xx 0)(xx 1)…(xxi – 1)(xxi + 1)… (xxn), i = 0, 1,…, n.

 

Из условия pi (xi) = 1 находим значение константы Ci

 

Ci = 1/[(xix 0)(xix 1)…(xixi – 1)(xixi + 1)… (xixn)],

 

и получаем выражение для многочленов pi (xi):

 

(4.16)

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид

 

. (4.17)

 

Формулу Лагранжа можно преобразовать так, чтобы упростить вычисления. Вынесем за знак суммы произведение

 

П n + 1(x) = (xx 0)(xx 1)…(xxn),

 

которое является многочленом степени n + 1. Получим

 

 

Теперь формулу Лагранжа можно записать в виде

 

, (4.18)

 

где Di = (xix 0)(xix 1)…(xixi 1)(xxi)(xixi + 1)… (xixn).

Обратите внимание на то, что в произведении Di из n + 1 сомножителя вместо скобки (xixi) присутствует множитель (xxi).

Пример 4.4. Вычислить значение функции из примера 4.3 в точке x = 2,3 с помощью интерполяционной формулы Лагранжа.

Решение в программе Excel. Результат выполнения задания показан в таблице 4.6. В таблице 4.5 для контроля приведены формулы в соответствующих ячейках. Приведем алгоритм ввода данных и расчетных формул.

1) В ячейку A 1 вводим имя переменной «x=», а в B 1 — ее значение 2,3. Присвоим ячейке B 1 имя x. Для этого выделим ячейку B 1 и выполним команду «Вставка — Имя — Присвоить — x».

2) В столбцы A 2: A 7, B 2: B 7, C 2: C 7 и строку D 2: J 2 введем данные как в таблице 4.5.

В остальных заполненных ячейках таблицы 4.5 содержатся формулы, которые рекомендуется ввести в следующем порядке:

3) (Заполнение диагонали.) В ячейку D 3 вводим «=x-$B3»; выделим D 3, копируем в буфер, а затем поочередно вставим в ячейки E 4, F 5, G 6 и H 7. В этих ячейках будут записаны соответственно формулы «=x-$B4», «=x-$B5», «=x-$B6», «=x-$B7».

4) (Заполнение ячеек под диагональю.) В ячейку D 4 вводим «=B4-B$3». Копируем D 4 маркером заполнения вниз до D 7. Аналогично, в ячейку E 5 вводим «=B5-B$3». Копируем E 5 маркером заполнения вниз до E 7; в ячейку F 6 вводим «=B6-B$3». Копируем F 6 в F 7. В ячейку H 7 вводим «=x-$B7».

5) (Заполнение ячеек над диагональю.) В ячейку E 3 вводим «=B3-B$4». В ячейку F 3 вводим «=B3-B$5». Копируем F 3 маркером заполнения вниз до F 4. в ячейку G 3 вводим «=B3-B$6». Копируем G 3 маркером заполнения вниз до G 5.

6) (Вычисление многочлена Лагранжа.) В ячейку I 3 вводим формулу «=ПРОИЗВЕД(D3:H3)» и копируем ее вниз до I 7. В ячейку J 3 вводим формулу «=C3/I3» и копируем ее вниз до J 7. В ячейку J 8 вводим «=СУММ(J3:J7)», в ячейку H 9 — «=D3*E4*F5*G6*H7», а в J 9 — «=H9*J8».

Табл. 4.5.

  C D E F G H I J
                 
  yi           Di yi/Di
    =x-$B3 =B3-B$4 =B3-B$5 =B3-B$6 =B3-B$7 =ПРОИЗВЕД(D3:H3) =C3/I3
    =B4-B$3 =x-$B4 =B4-B$5 =B4-B$6 =B4-B$7 =ПРОИЗВЕД(D4:H4) =C4/I4
  5,5 =B5-B$3 =B5-B$4 =x-$B5 =B5-B$6 =B5-B$7 =ПРОИЗВЕД(D5:H5) =C5/I5
  5,7 =B6-B$3 =B6-B$4 =B6-B$5 =x-$B6 =B6-B$7 =ПРОИЗВЕД(D6:H6) =C6/I6
  5,8 =B7-B$3 =B7-B$4 =B7-B$5 =B7-B$6 =x-$B7 =ПРОИЗВЕД(D7:H7) =C7/I7
                =СУММ (J3:J7)
            =D3*E4 *F5*G6*H7   =H9*J8

 

 

Табл. 4.6.

  A B C D E F G H I J
  x= 2,3                
  i xi yi           Di yi/Di
        0,3 -0,5 -1 -1,5 -2 0,45 8,888889
    2,5   0,5 -0,2 -0,5 -1 -1,5 0,075 66,66667
      5,5   0,5 -0,7 -0,5 -1 -0,175 -31,4286
    3,5 5,7 1,5   0,5 -1,2 -0,5 0,45 12,66667
      5,8   1,5   0,5 -1,7 -2,55 -2,27451
                    54,51914
                0,08568   4,6712

 

Результат f (2,3) = 4,6712 совпадает со значением, полученным в примере 4.3. Так и должно быть, ведь по заданным точкам многочлен n -й степени определяется единственным образом.


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 187 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Приближение функций | Интерполяция | Равномерное приближение функции. Многочлены Чебышева | Интерполяция сплайнами | Аппроксимация. Метод наименьших квадратов | Задачи для самостоятельного решения |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Интерполяционные формулы Ньютона| Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)