Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Задачи для самостоятельного решения. 1. Заданы таблично значения yi функции f(x) в точках xi

Читайте также:
  1. I. Предмет и задачи кризисной психологии
  2. I. Цели и задачи музейной практики
  3. I. Цели и задачи учебной дисциплины
  4. I. Цель и задачи производственной
  5. II. СИТУАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
  6. II. Цель, задачи и основные направления деятельности Центра
  7. III Задачи прокурорского надзора

1. Заданы таблично значения yi функции f (x) в точках xi. Найти значение функции f (x) при x = x *. Решить задачу с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа 3-го порядка. Варианты исходных данных приведены в таблице 4.11.

Таблица 4.11

№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6 № 7 № 8 № 9 № 10
x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y
                                       
                                       
                                       
                                       
x* = 1 x* = 2 x* = 3 x* = 1 x* = 2 x* = 3 x* = 1 x* = 2 x* = 3 x* = 1
№ 11 № 12 № 13 № 14 № 15 № 16 № 17 № 18 № 19 № 20
x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y
                                       
                                       
                                       
                                       
x* = 4 x* = 5 x* = 6 x* = 4 x* = 5 x* = 6 x* = 4 x* = 5 x* = 6 x* = 4

 

2. Заданы таблично значения yi функции f (x) в узлах xi, получающихся делением отрезка [1; 2] на пять частей. Найти значение функции f (x) при x = 1,1 с помощью первой интерполяционной формулы Ньютона. Варианты исходных данных приведены в таблице 4.12.

Таблица 4.12

Варианты табличных значений yi функции f (x)
xi                    
1,0 1,0 1,1 0,9 0,9 0,8 1,1 1,0 1,2 1,2 1,1
1,2 2,1 2,2 2,0 1,9 2,0 2,2 2,1 1,8 2,0 1,9
1,4 2,9 3,2 3,0 3,2 2,9 3,2 3,1 3,2 3,0 3,2
1,6 3,8 4,2 3,8 3,8 4,2 4,2 3,8 4,1 3,8 3,8
1,8 5,2 5,2 5,1 5,1 5,2 5,1 5,2 5,2 5,0 4,9
2,0 5,9 6,0 5,8 6,1 5,8 5,9 6,2 6,1 6,1 5,8
Варианты табличных значений yi функции f (x)
xi                    
1,0 0,8 0,8 0,8 1,1 0,8 1,0 0,9 1,2 1,2 1,2
1,2 2,0 2,2 1,8 2,2 1,9 1,8 2,0 2,2 2,2 2,0
1,4 2,8 2,9 2,9 3,0 3,2 2,8 2,8 3,0 3,2 3,2
1,6 4,0 4,0 4,0 4,1 4,1 3,8 3,8 4,0 3,8 4,2
1,8 5,2 5,2 4,9 4,9 5,0 4,8 4,9 4,8 4,8 4,8
2,0 6,0 5,8 6,1 5,9 6,0 5,8 6,2 5,8 6,0 6,1

 

3. Заданы таблично значения yi функции f (x) в узлах xi. Найти значение функции f (x) при x = 1,9 с помощью второй интерполяционной формулы Ньютона. Варианты исходных данных приведены в таблице 4.12.

4. Решить задачу 2 с помощью кубического сплайна.

5. Решить задачу 3 с помощью интерполяции кусочно-линейной функцией, график которой проходит через данные точки. Построить этот график.

Указание. Определить отрезок [ xi – 1, xi ], содержащий точку x * и вычислить f (x) с помощью уравнения прямой, проходящей через две заданные точки (xi – 1, yi – 1) и (xi, yi):

 

 

6. Решить задачу 3 с помощью аппроксимации линейной функцией. Построить график.

7. Для функции y = f (x) на отрезке [ a, b ] построить интерполяционный многочлен Чебышева 3-го порядка, если f (x) нечетная функция или 4-го порядка, если f (x) четная функция. Построить графики данной функции и многочлена Чебышева. Варианты функций f (x) и отрезков [ a, b ] приведены в табл. 4.13.

Таблица 4.13

№ варианта f (x) [ a, b ] № варианта f (x) [ a, b ]
  cos2x) [– 1, 1]   2sin(π x) [– 1, 1]
  2sin(π x /2) [– 2, 2]   cos x /(1 + x 2) [– 3, 3]
  x 3/27 [– 3, 3]   x 3/(1 + x 2) [– 2, 2]
  x 4/16 [– 2, 2]   (cos x 3)/(1 + x 2) [– 2, 2]
  cos(π x) [– 3, 3]   cos(π x) [– 1, 1]
  sin(π x) [– 1, 1]   2sin(π x /3) [– 3, 3]
  x 4/(1 + x 2) [– 2, 2]   x /(1 + x 2) [– 2, 2]
  (sin x)/(1 + x 2) [– 3, 3]   x 2/(1 + x 2) [– 2, 2]
  2 x /(1 + x 2) [– 4, 4]   cos(x /5) [– 5, 5]
  cos3x) [– 1, 1]   cos(π x) [– 5, 5]

 

8. Для функции y = f (x) построить приближение многочленом g (x), равным отрезку из трех первых членов разложения в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 = 0. Построить таблицу значений и графики функций f (x) и g (x) на отрезке [–1, 1] в одной системе координат. Сравнить полученные графики. Варианты функций f (x) приведены в табл. 4.14.

Таблица 4.14

f (x) f (x)
  cos(x 2)   arcsin(x /2)
  2sin(x /2)   arctg(x /2)
  sin(x /10)   5/(1 + x 2)
  cos(x 2/16)   cos x 3
  cos(x)/10   cos(π x)
  sin(x)/10   2sin(π x /3)
  ln(1 + x 2)   e4 x
  (1 + x)1,5   ln(1 + x 3)
  (1 + x)2,5   cos(x /5)
  e2 x   cos(x /10)

Указание. Использовать известные разложения в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 = 0 (ряд Маклорена):

1) для любого x.

2) для любого x.

3) для любого x.

4) –1 < x ≤ 1.

5) –1 < x < 1.

6) –1 < x < 1.

7) –1 < x < 1.

8) –1 < x ≤ 1.

9) –1 < x ≤ 1.

 

9. Численность популяции живых организмов N (ti) в заданные моменты времени ti известна. Предполагая, что функция N (t) имеет вид aebt, найти методом наименьших квадратов параметры a, b и вычислить прогнозное значение численности на момент времени t*.

Таблица 4.15

№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6 № 7 № 8 № 9 № 10
t N t N t N t N t N t N t N t N t N t N
                                       
                                       
                                       
                                       
t* = 6 t* = 6 t* = 6 t* = 6 t* = 7 t* = 6 t* = 6 t* = 7 t* = 6 t* = 7
№ 11 № 12 № 13 № 14 № 15 № 16 № 17 № 18 № 19 № 20
t N t N t N t N t N t N t N t N t N t N
                                       
                                       
                                       
                                       
t* = 6 t* = 7 t* = 8 t* = 6 t* = 7 t* = 8 t* = 6 t* = 7 t* = 8 t* = 6

 

10. Определить методом наименьших квадратов коэффициенты линейной комбинации тригонометрических функций по табличным значениям
(ti, yi). Если по заданным значениям функции можно предположить (приблизительно), что y (t) нечетная, то применить в качестве аппроксимирующей функции F (t) = a 1sin t + a 2sin2 t + a 3sin3 t, а если y (t) четная, взять в качестве аппроксимирующей функции F (t) = a 1cos t + a 2cos2 t + a 3cos3 t. Построить точки (ti, yi) и график функции F (t) на отрезке [–3, 3] с шагом 0,5. Варианты заданий приведены в таблицах 4.16 — 4.18.

Таблица 4.16

№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6 № 7
t y t y t y t y t y t y t y
-2,0 -0,2 -2,0 -5,1 -2,0 -0,1 -2,0 -3,8 -2,0 0,0 -2,0 -13,1 -2,0 0,2
-1,5 -3,4 -1,5 -3,6 -1,5 -2,9 -1,5 -3,0 -1,5 -2,1 -1,5 -9,2 -1,5 -1,3
-1,0 -5,2 -1,0 0,1 -1,0 -3,8 -1,0 -0,2 -1,0 -3,2 -1,0 -0,2 -1,0 -1,8
-0,5 -3,7 -0,5 3,3 -0,5 -2,7 -0,5 3,0 -0,5 -1,9 -0,5 9,3 -0,5 -1,7
0,0 0,0 0,0 4,9 0,0 -0,2 0,0 4,0 0,0 0,1 0,0 13,0 0,0 -0,1
0,5 3,7 0,5 3,6 0,5 2,7 0,5 2,8 0,5 2,3 0,5 9,2 0,5 1,3
1,0 4,9 1,0 0,2 1,0 4,1 1,0 -0,1 1,0 3,2 1,0 0,1 1,0 1,8
1,5 3,4 1,5 -3,6 1,5 3,0 1,5 -2,6 1,5 2,0 1,5 -9,1 1,5 1,2
2,0 0,2 2,0 -5,0 2,0 0,0 2,0 -4,2 2,0 -0,2 2,0 -13,0 2,0 0,1

Таблица 4.17

№ 8 № 9 № 10 № 11 № 12 № 13 № 14
t y t y t y t y t y t y t y
-2,0 0,0 -2,0 -4,8 -2,0 -0,1 -2,0 -4,2 -2,0 0,1 -2,0 -13,1 -2,0 -0,1
-1,5 -3,6 -1,5 -3,4 -1,5 -2,9 -1,5 -2,6 -1,5 -1,9 -1,5 -9,4 -1,5 -1,2
-1,0 -4,9 -1,0 -0,2 -1,0 -4,2 -1,0 -0,1 -1,0 -2,8 -1,0 0,0 -1,0 -1,8
-0,5 -3,4 -0,5 3,7 -0,5 -2,9 -0,5 2,7 -0,5 -1,9 -0,5 9,0 -0,5 -1,4
0,0 -0,1 0,0 5,1 0,0 -0,2 0,0 3,8 0,0 -0,1 0,0 13,2 0,0 0,1
0,5 3,4 0,5 3,6 0,5 2,7 0,5 3,1 0,5 2,1 0,5 9,0 0,5 1,2
1,0 4,9 1,0 -0,1 1,0 3,9 1,0 -0,1 1,0 3,1 1,0 0,2 1,0 1,8
1,5 3,5 1,5 -3,4 1,5 2,6 1,5 -2,8 1,5 2,0 1,5 -9,4 1,5 1,6
2,0 0,1 2,0 -5,2 2,0 0,2 2,0 -4,1 2,0 0,1 2,0 -13,0 2,0 -0,1

Таблица 4.18

№ 15 № 16 № 17 № 18 № 19 № 20 № 21
t y t y t y t y t y t y t y
-2,0 -0,2 -2,0 -4,9 -2,0 -0,1 -2,0 -4,1 -2,0 -0,1 -2,0 -13,2 -2,0 0,1
-1,5 -3,5 -1,5 -3,5 -1,5 -2,9 -1,5 -3,0 -1,5 -2,1 -1,5 -9,2 -1,5 -1,3
-1,0 -5,2 -1,0 0,0 -1,0 -4,2 -1,0 -0,1 -1,0 -3,2 -1,0 0,1 -1,0 -2,2
-0,5 -3,5 -0,5 3,5 -0,5 -2,7 -0,5 2,9 -0,5 -2,3 -0,5 9,4 -0,5 -1,3
0,0 -0,2 0,0 4,9 0,0 0,1 0,0 4,0 0,0 -0,1 0,0 13,0 0,0 -0,2
0,5 3,3 0,5 3,6 0,5 2,6 0,5 2,9 0,5 2,2 0,5 9,3 0,5 1,3
1,0 4,9 1,0 0,0 1,0 4,1 1,0 0,2 1,0 2,8 1,0 -0,1 1,0 2,1
1,5 3,3 1,5 -3,4 1,5 2,9 1,5 -2,6 1,5 2,1 1,5 -9,0 1,5 1,4
2,0 -0,2 2,0 -4,9 2,0 0,0 2,0 -4,0 2,0 -0,2 2,0 -13,0 2,0 0,2

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 184 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Приближение функций | Интерполяция | Интерполяционные формулы Ньютона | Интерполяционная формула Лагранжа | Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа | Равномерное приближение функции. Многочлены Чебышева | Интерполяция сплайнами |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Аппроксимация. Метод наименьших квадратов| Аптечки

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.013 сек.)