Касательные к линии второго порядка

Напомним: точка, принадлежащая линии второго порядка, называется особой точкой линии , если она является центром этой линии. В противном случае точка называется обыкновенной.

Обсудить:

1. Назовите линии второго порядка, которые а) не имеют особых точек; б) имеют только одну особую точку; в) имеют более одной особой точки.

2. Как, зная уравнение линии второго порядка, найти координаты особой точки?

Определение. Касательной к линии второго порядка в обыкновенной точке , называется прямая, пересекающая линию в двух совпавших точках, либо целиком содержащаяся в ней.

Обсудить:

Почему касательная определяется только в обыкновенной точке?

Ответ: Что считать касательной в точке, являющейся пересечением двух прямых? Нет однозначности, таких «касательных» будет бесконечно много.

Теорема. В каждой обыкновенной точке линии второго порядка существует одна и только одна касательная. Если линия задана общим уравнением (1), то касательная в точке имеет уравнение (3)

.

ЗАДАЧИ.

5. . Составить уравнение той касательной к линии , которая проходит через точку N(3, 4).

Указание. Запишите уравнение касательной в общем виде, а затем используйте два факта: 1) касательная проходит через точку N;

2) точка касания принадлежит линии .

Получим квадратное уравнение, решив которое находим одну из координат (например, ) точек касания. Учитывая, что точка касания принадлежит линии , находим вторые координаты.

Домашнее задание. [1] Атанасян Л.С., Атанасян. Сборник задач по геометрии. Часть 1. №927\а, 928, 914.

Дата добавления: 2015-07-26