Строение теоремы

Каждая математическая теория представляет собой множество предложений. Среди них некоторые предложения принимаются за исходные (аксиомы) так, чтобы все остальные предложения этого множества (теоремы) логически следовали из них. Всякое математическое предложение состоит только из математических и логических терминов или заменяющих их символов.

Определение. Теорема – это математическое предложение, истинность которого доказывается на основе других предложений этой же теории, доказанных ранее, или же аксиом.

Теоремы часто формулируются в виде импликаций. Такая структура наиболее удобна для выделения условия (то, что дано) и заключения (то, что необходимо доказать) теоремы.

Рассмотрим следующую теорему: «Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла». Условием этой теоремы является предложение «Точка лежит на биссектрисе угла», а заключением – предложение «Точка равноудалена от сторон угла». Видим, что и условие, и заключение данной теоремы представляют собой предикаты, заданные на множестве Р всех точек плоскости (см. замечание в § 11 этой главы).

Обозначим через А (х) предикат «Точка х лежит на биссектрисе угла», В (х) предикат «Точка х равноудалена от сторон этого угла», х – это любая точка множества Р. Тогда приведенную теорему можно записать в виде следующей импликации: (" х Î Р) [ А (х) Þ В (х)].

Таким образом, говоря о строении теоремы «Если точка х лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла», мы выделили в ней три части:

1. Условие теоремы: предикат А (х), заданный на множестве Р всех точек плоскости.

2. Заключение теоремы: предикат В (х), заданный на множестве Р всех точек плоскости.

3. Разъяснительная часть теоремы: в ней описываются множества объектов, о которых идет речь в теореме. В символической записи (" х Î Р).

Заметим, что в словесной формулировке разъяснительная часть обычно опускается, но она всегда подразумевается, и при работе с теоремами ее необходимо выделять. Заметим, что условие и заключение теоремы в свою очередь может не быть элементарным высказыванием, а иметь определенную логическую структуру (чаще всего это конъюнкция или дизъюнкция).

Часто теорема выражается в категорической форме. Например: «синус является нечетной функцией». Но и такая теорема может быть выражена в так называемой условной форме, т.е. в виде «если …, то …».

Теоремы, не содержащие слов «если..., то …», также могут быть записаны в виде импликации. Например, рассмотрим теорему «В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы с равен сумме квадратов длин его катетов а, в». В ней утверждается, что если среди различных треугольников выбрать любой прямоугольный, то в нем окажется, что с ² = а ² + в ². Обозначив множество всех треугольников на плоскости буквой X, а любой треугольник из этого множества буквой х, получим символическую запись теоремы, о которой идет речь,

(" х Î Х) [ А (х) Þ В (х)],

где А (х) предикат «Треугольник х – прямоугольный», В (х) предикат «Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов катетов (с ² = а ² +
+ в ²)», заданных на множестве X.

Пусть (" х Î Х) [ А (х) Þ В (х)] символическая запись некоторой теоремы. Тогда ее условие и заключение образуют импликацию, истинную при всех х из множества X, и, следовательно, предикат В (х) логически следует из предиката А (х). Поэтому В (х) (заключение теоремы) является необходимым условием для А (х) (условия теоремы), а А (х) – достаточным условием для заключения теоремы В (х).

Пользуясь терминами «необходимое условие» и «достаточное условие», теорему Пифагора можно прочитать следующим образом:

1. Для того, чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо, чтобы с ² = а ² + в ²;

2. Для того, чтобы с ² = а ² + в ², достаточно, чтобы треугольник был прямоугольным.

Дата добавления: 2015-07-18