Ряды Фурье

Другой универсальной математической моделью является представление функциональной зависимости в виде суммы (наложения) простейших гармоник. Такое модельный подход применяется при изучении разнообразных периодических процессов, т.е. повторяющихся через определённый промежуток времени. В этом случае целесообразно разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, в так называемый тригонометрический ряд.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

, (9.7)

где называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (9.7) сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом , т.к. функции и также периодические функции с периодом .

Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-π; π], а его сумма равна .

Определим коэффициенты этого ряда.

Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:

Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-p; p], то существует интеграл

Такой результат получается в результате того, что

.

Получаем: .

Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cos nx и интегрируем в пределах от -p до p.

Отсюда получаем:

Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sin nx и интегрируем в пределах от -p до p.

Получаем:

Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).

Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом T = 2p на отрезке [-p; p].

Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:

,

где

Получаем: .

Дата добавления: 2015-07-17