Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Свойства неопределенного интеграла

Читайте также:
  1. II.7. Свойства усилительных элементов при различных способах
  2. III.1. Физические свойства и величины
  3. III.3. Влияние обратной связи на свойства усилителя.
  4. XI. ПРИСПОСОБЛЕНИЕ И ДРУГИЕ ЭЛЕМЕНТЫ, СВОЙСТВА. СПОСОБНОСТИ И ДАРОВАНИЯ АРТИСТА
  5. А. ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА КАЖДОГО ОРГАНА
  6. АБРАЗИВНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
  7. Автомобильные топлива. Назначение, виды, свойства.

Сформулируем свойства в виде теорем:

 

  1. ТЕОРЕМА: Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

 

и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Действительно:

 

Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

 

Например: , проверяем

 

  1. ТЕОРЕМА: Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и некоторой произвольной постоянной

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

 

 

  1. ТЕОРЕМА: Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Обозначим , тогда

 

  1. ТЕОРЕМА: Неопределенный интеграл от суммы (разности) конечного числа непрерывных функций равен сумме (разности) интегралов от слагаемых функций

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

 

Пусть и , тогда

где .

 

Инвариантность формулы интегрирования

ТЕОРЕМА: Если справедливо равенство , то выполняется более общее равенство , где - произвольная дифференцируемая функция

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Известно, что . Следовательно, в теореме требуется доказать равенство . Из условия следует, что и поэтому .

Чтобы доказать равенство , найдем производную от его правой части, , отсюда учитывая получаем

. Итак, производная от правой части равенства равна подынтегральной функции интеграла, стоящего в выражении слева. Следовательно, равенство справедливо.

 

Т.Е. формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

 

В частности:

 

Таблица основных неопределенных интегралов

 

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие обратное дифференцированию, можно самим получить таблицу основных интегралов.

Например:

 

В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных. Методы интегрирования сводятся к указанию приемов, приводящих данный интеграл к табличному.

 

 


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 121 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: П. Определенный интеграл как предел интегральной суммы | П. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА | П. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА | П. ИНТЕГРАЛ С БЕСКОНЕЧНЫМ ПРОМЕЖУТКОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА| МЕТОД НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)