Линейная модель обмена (модель международной торговли)

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящейся к понятию собственного вектора и соб­ственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

Пусть имеется п стран S₁S₂,-.-,S_n, национальный доход каж­дой из которых равен соответственно х_ъх_г,...,х_п. Обозначим коэффициентами а_ij долю национального дохода, которую страна S j тратит на покупку товаров у страны S_i. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внут­ри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

(3.2)

Рассмотрим матрицу

которая получила название структурной матрицы торговли.

В соответствии с (3.2) сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.

Для любой страны S_i, (i = 1,2,...,n) выручка от внутренней и

внешней торговли составит:

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны S_i, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:

Если считать, что р_i, >x _i, (i = 1,2,...,п), то получаем систему неравенств

(3.3)

Сложив все неравенства системы (3. 3), получим после груп­пировки

х₁(а_п + а₂₁+...+а _n1) + х₂(а₁₂+а₂₂+...+а_n2)+...+х_n(а_ы + а_2п+...+а_т) >х₁ + x₂+...+х_п.

Учитывая (3.3), выражения в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству

х_х + х₂+...+х_n > х_х + х₂+...+х_n.

Таким образом, неравенство (i = 1,2,...,n) невозможно, и условие p_i > x_i принимает вид р_i, = х_i, (i = 1,2,...,n). (С эконо­мической точки зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получать прибыль).

Вводя вектор x= национальных доходов стран, получим уравнение

Ax=x (3.4)

т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающему собственному значению l = 1.

Пример 3.15. Структурная матрица торговли трех стран S₁S₂,,S₃ имеет вид:

1/3 1/4 1/2

А= 1/3 1/2 1/2

1/3 1/4 0,

Найти национальные доходы стран для сбалансированной тор­говли.

Решение. Находим собственный вектор х, отвечающий собственному значению l = 1, решив уравнение (А - Е)х =0 или систему

методом Гаусса найдем x₁=(3/2)c, х₂=2с, х₃=с

т.е. х=(3/2с;2с;с)

Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов стран 3/2:2:1

или 3:4:2.

Математическая модель межотраслевого баланса в матричной форме имеет вид:

AX + Y = X, (3.5)

где А = (a _{i j}) - матрица коэффициентов прямых затрат, Х - вектор валовых выпусков, Y - вектор конечного продукта.

Перепишем систему (3.5) в виде

(E - A) X = Y, (3.6)

где E - единичная матрица n-го порядка, тогда решение системы (3.6) относительно неизвестных значений объемов производства продукции при заданном векторе конечного продукта находится по формуле

X = (E - A) ^-1 Y. (3.7)

Здесь (E - A) ^-1 - матрица коэффициентов полных затрат. Элемент b_{i j} матрицы (E - A) ^-1 характеризует потребность в валовом выпуске отрасли i, который необходим для получения в процессе материального производства единицы конечного продукта отрасли j. Благодаря этому имеется возможность рассматривать валовые выпуски x_i в виде функций планируемых значений y _j конечных продуктов отраслей:

.

Пример 3.16 Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты - выпуск” X = AX +Y. Найти вектор конечной продукции Y при заданном X, где

A = ;

Решение. Имеем: Y = (E - A) X, где E - единичная матрица третьего порядка.

E - A = ,

значит,

Y= .

Пример 3.17. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск”. Определить, будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов A. Найти вектор валовой продукции X при заданном Y, где

A= .

Решение. Для решения вопроса о продуктивности матрицы A следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:

,

или (0,125 -l)² - 0,140625 = 0 Þ 0,125 - l = ± 0,375.

Следовательно, l₁ = 0,5; l₂ = - 0,25. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологических коэффициентов A продуктивная. Для определения вектора валовой продукции X имеем формулу
X = (E - A) ^-1 Y. Найдем обратную матрицу для матрицы

E - A= .

Обозначим B = E-A, тогда .

Следовательно,

X = .

Пример 3.18. Со станции ежедневно можно отправлять пассажирские и скорые поезда. Данные приведены в таблице.

Тип поезда	Количество вагонов в составе
	плацкартных	купейных	мягких
Пассажирский
Скорый
Резерв вагонов

Записать в математической форме условия, не позволяющие превысить наличный парк вагонов при формировании пассажирских и скорых поездов, ежедневно отправляемых со станции. Построить на плоскости Oxy область допустимых вариантов формирования поездов.

Решение. Обозначим через x количество пассажирских поездов,
а через y - количество скорых. Получим систему линейных неравенств:
5x + 8y £ 80, 6x + 4y £ 72, 3x + y £ 21, x ³ 0, y ³ 0.

Построим соответствующие прямые:

5x + 8y = 80, 6x +4y = 72, 3x + y = 21, x = 0, y = 0,

записав их уравнения в виде уравнений прямых в отрезках:

x/16 + y/10 = 1,

x/12 + y/18 = 1,

x/7 + y/21 = 1,

x = 0,

y = 0.

Заштрихуем полуплоскости, удовлетворяющие данным неравенствам, и получим область допустимых значений:

y

0 7 12 16 x

Рис. 2

Итак, количество скорых поездов не превышает 10, а пассажирских должно быть не более 7.

Дата добавления: 2015-07-15