Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Степенные ряды. Определение:Степенным рядом называется ряд вида , где - коэффициент степенного ряда

Читайте также:
  1. А-В-С взгляд на второстепенные эмоции
  2. В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
  3. Вещественные степенные ряды
  4. ВТОРОСТЕПЕННЫЕ ГЕРОИ ПРИДАЮТ ЦВЕТ И МНОГОМЕРНОСТЬ
  5. Разложение функций в степенные ряды
  6. Разложение функций в степенные ряды
  7. Степенные ряды

 

Определение: Степенным рядом называется ряд вида , где - коэффициент степенного ряда, зависит от n и не зависит от х.

Степенной ряд является частным случаем функционального ряда, поэтому естественно поставить вопрос об области сходимости степенного ряда и его равномерной сходимости. Ответ на вопрос какой вид имеет область сходимости степенного ряда дает теорема Абеля.

Теорема Абеля:

Если сходится в точке он сходится во всех точках, удовлетворяющих неравенству . Если расходится в точке он расходится во всех точках, удовлетворяющих неравенству .

Доказательство:

Пусть сходится в точке будет сходится ряд по необходимому признаку сходимости числовая последовательность - ограничена, т.е существует число M>0, что сразу для всех n.

Возьмем любое х удовл. и рассмотрим из абсолютных величин.

Оценим общий член этого ряда:

Ряд из членов геометрической прогрессии со знаменателем сходится исходный тоже сходится по I признаку сравнения, т.к его члены меньше членов сходящегося ряда сходится абсолютно.

Пусть расходится в точке .

Возьмем любое х удовл. , нужно доказать, что расходится при любом х, удовлетворяющем .

Предположим противное: - сходится по 1 части доказательства он будет сходится в точке .

Полученное противоречие доказывает теорему.

Конец доказательства.

Из теоремы Абеля что если степенной сходится в он сходится в точке удовлетворяющей неравенству :

сходится расходится

расходится..

0

Если расходится в точке , тогда он расходится

Вывод: существует интервал с центром в точке 0, радиусом R, внутри которого степенной ряд сходится, и вне которого расходится. Такой интервал называется интервалом сходимости степенного ряда, а R – радиусом сходимости степенного ряда. Укажем метод нахождения интервала сходимости.

 


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 63 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Равномерная сходимость функционального ряда | Ряды Маклорена | Тригонометрические ряды Фурье |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда| Равномерная сходимость степенного ряда

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)