Задача 11.

Сложить два колебания одной частоты, совершаемые по одному направлению:

; x₂(t) = 2 sin (ωt + 30⁰);

Решение.

Приводим колебания к одному виду описания, через синусы или через косинусы. Для примера, перейдем к косинусам в x₂(t).

; ;

; x₂(t) = 2cos (ωt+ - ) = 2cos(ωt - ).

Уберем знак минус перед амплитудой x₁(t). Этого можно и не делать, достаточно повернуть вектор колебания на π:

x₁ = 5 cos(ωt + π + ) = 5 cos (ωt + ).

Сложим колебания, раскрывая скобки и собирая по отдельности члены, содержащие sin ωt и cos ωt:

Для проверки вычислим угол δ через синус и через косинус:

, ,

231⁰,802 = (231⁰,802 /180⁰).π = 4,046 рад

Ответ: x = 5,38 cos(ωt + 4,046 ).

На рис. 17 представлена векторная диаграмма сложения указанных колебаний.

Рис. 17. Векторная диаграмма сложения двух одночастотных колебаний ( - произвольный вектор)

Сложение разнонаправленных колебаний. Сложить колебания, совершаемые по двум несовпадающим направлениям, это значит найти траекторию точки, совершающей эти колебания, в плоскости содержащей заданные направления. Задача решается аналогично нахождению траектории материальной точки брошенной под углом к горизонту (70,71).

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, (x = А₁coswt, y = A₂ cos (wt + j) ),

всегда есть ограниченная линия (не уходящая на бесконечность):

a) у = (А₂/А₁) x (если разность фаз j = 0) – отрезок прямой.

b) у = - (А₂/А₁) x (если разность фаз j = ±p) – отрезок прямой.

c) x²/A₁² + y²/A₂² = 1 (если разность фаз j = ±p/2) – канонический эллипс.

d) x²/A₁² + y²/A₂² –(2xy/ А₁ А₂)cos(j₂ -j₁) = sin²(j₂ - j₁) – эллипс общего положения (75)

В общем случае выражения

х = А₁cosw₁t и у = А₂cos(w₂t +j)

задают ограниченную кривую (вписанную в прямоугольник 2А₁ х 2А₂) в параметрическом виде. Причем в случае рационального отношения частот w₁ и w₂ и сдвигов фаз колебаний траектории замкнуты и называются фигурами Лиссажу. При этом отношение частот w₁/w₂ равно отношению числа касаний фигуры Лиссажу с горизонтальной и вертикальной сторонами прямоугольника, в который они вписываются.

Если указанные отношения иррациональны, то траектория точки не замыкается, однако она остается внутри упомянутого прямоугольника.

Другие варианты сложения взаимно перпендикулярных колебаний различных частот представлены на рис. 18 и 19.

Направление обхода траектории всегда можно установить, рассмотрев смещение точки за малый промежуток времени Dt. В общем случае направление обхода можно установить, рассмотрев ориентацию вектора , построенного по правилу (векторное произведение двух векторов), где, , - радиус –вектор точки в момент времени t и ее скорость в этот же момент времени. Вектор всегда перпендику лярен плоскости x,y и если он направлен против оси z правой системы координат, то фигура обходится по часовой стрелке.

Сложение колебаний различных направлений сводится к сложению взаимно перпендикулярных колебаний.

1 2

3 4

5 6

7 8

Рис. 19. Фигуры Лиссажу

1. - x = A cos(2ωt + φ), y = B cos(ωt); 2. - x = A cos(2ωt), y = B cos(ωt + φ); 3. - x = A sin(2ωt + φ), y = B sin(ωt); 4. - x = A sin(2ωt), y = B sin(ωt + φ); 5. - x = A cos(ωt), y = B cos(2ωt + φ); 6. - x = A cos(ωt + φ), y = B cos(2ωt); 7. - x = A sin(ωt), y = B sin(2ωt + φ);

8. - x = A sin(ωt + φ), y = B sin(2ωt), (А = 1, В = 4, φ = 135⁰)

Дата добавления: 2015-07-18