Условный экстремум функции двух переменных

Пусть задана функция в области D и пусть требуется определить экстремум функции при условии, что переменные удовлетворяют уравнению . Экстремумы такого рода называются условными.

Чтобы найти условный экстремум функции при наличии уравнения связи , составляют функцию Лагранжа

,

где – неопределенный постоянный множитель, и исследуют ее на экстремум.

Необходимые условия экстремума функции выражаются системой трех уравнений

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании исследования знака дифференциала второго порядка функции:

,

где значение найдено при решении системы.

Обозначим , , . Если и , то стационарная точка является точкой минимума, а при - точкой максимума.

Если уравнения связи задаются линейной функцией, то, выразив, например, через и подставив в заданную функцию, получим функцию одной переменной , которая исследуется на экстремум известными методами.

Пример 12. Исследовать функцию на экстремум при условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению .

Решение. Для отыскания стационарных точек составим функцию Лагранжа

,

найдем ее частные производные и составим систему для определения координат точек возможного условного экстремума и значения :

Решив ее, получим две тройки чисел:

и .

Таким образом, имеем две стационарные точки:

и .

1. Исследуем существование экстремума в точке . Составим функцию

.

Найдем частные производные второго порядка и их значение в точке :

.

Поскольку и , то точка является точкой условного минимума.

2. Исследуем существование экстремума в точке . Для этого составим функцию

.

Найдем частные производные второго порядка и их значение в точке :

.

Поскольку и , то точка - точка условного максимума.

---

Дата добавления: 2015-07-14