Примеры доказательства существования предела монотонной ограниченной последовательности

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

.

4.4. Определение числа

Рассмотрим последовательность: Докажем, что эта последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Для этого используем формулу бинома Ньютона:

.

Полагая здесь , , получим:

;

вынесем из каждой скобки числителя множитель и сократим дроби:

. ()

Теперь видно, что все слагаемые в правой части положительны и их количество увеличивается с увеличением , поэтому последовательность монотонно возрастающая; при этом очевидна её ограниченность снизу .

Чтобы показать ограниченность последовательности, в равенстве () заменим каждую скобку на число 1; в результате правая часть увеличится и получим неравенство:

;

ещё усилим это неравенство, заменив числа 3,4,5,…, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

;

сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии и тоже оценим её сверху:

;

подставив эту оценку в предыдущее неравенство, получим ограниченность сверху рассматриваемой последовательности:

.

Таким образом, показано, что последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Следовательно, по теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел, который обозначим числом : .

Число называется неперовым числом. Оно принято за основание натуральных логарифмов: и за основание показательной функции , которая называется экспонентой. Мы имеем информацию из ограниченности сверху и снизу, используя далее свойства о переходе к пределу в неравенствах и о пределе постоянной:

.

В более подробных курсах математического анализа доказывается, что число является иррациональным и имеет приближенное значение: ().

Дата добавления: 2015-07-12