Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях

Теорема о сумме двух бесконечно малых

Если две последовательности и являются бесконечно малыми при , то их сумма также является бесконечно малой при .

w - б.м. ;

- б.м. .

Рассмотрим теперь последовательность с членами при ,
где :

при этом использовано известное свойство модуля: ;

таким образом показано, что

для . v

Теорема о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательностей

Если последовательность является бесконечно малой, а последовательность является ограниченной, то их произведение есть бесконечно малая последовательность при .

w - ограниченная ;

- б.м. .

Рассмотрим последовательность с членами :

так как по свойствам модуля ;

таким образом показано, что

. v

Теорема о произведении двух бесконечно малых последовательностей

Произведение двух бесконечно малых последовательностей и есть также бесконечно малая последовательность при .

w - б.м. - сходящаяся последовательность - ограниченная как всякая сходящаяся последовательность есть б.м., (по теореме о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательностей). v

Теорема о связи бесконечно малой последовательности с бесконечно большой последовательностью

Если последовательность является б.м. при и , то последовательность является бесконечно большой при .

w - б.м. .

Рассмотрим последовательность с общим членом при (все числа существуют, так как по условию теоремы):

так как (также использовано свойство модуля );

таким образом показано, что

при . v

Дата добавления: 2015-07-12