Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Свойства функции, непрерывной на отрезке

Приведите пример графика функции , про которую известно:

А) , – непрерывна, , . В этом случае .

Б) , – непрерывна, , , . Пусть . Укажите на оси точку такую, что .

В) , – непрерывна, , , , . Укажите нули функции.

А) Б) В)

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке ___________________________________________.

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она _________________ на этом отрезке.

Теорема Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах _________________ значения и , то на этом отрезке она принимает ____________________________________.

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения _____________________, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка , для которой ________________.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема. Если функция _____________________ в некоторой точке, то она ______________________ в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Например, непрерывная на функция не имеет производной в точке . Изобразите график этой функции (чертеж 1). Приведите примеры графиков непрерывных функций, не имеющих производной: в двух точках (чертеж 2), в бесконечном числе точек (чертеж 3).

1) 2) 3)

Дата добавления: 2015-07-11