Линейная корреляция

Графическое представление данных преследует цель установить связь между переменными. Характер зависимости определяется видом функции. Функциональная зависимость - необязательно причинно-следственная, поэтому говорят: функции - это законы, управляющие соответствиями переменных. Однако если мы попытаемся экспериментально проверить простой закон линейного расширения тел при нагревании l = lо + кТ, то окажется, что равным в пределах точности измерения значениям Т соответствует разное l. Из-за погрешности измерения, влияния случайных факторов функциональная зависимость проявляется как статистическая.

Наиболее простой случай статистической связи представляет линейная корреляция двух факторов. Наглядное представление о такой связи дает рис, 7. На нем изображено поле корреляции жесткости сульфатной целлюлозы и расхода активной щелочи на единицу абсолютно сухой целлюлозы. Здесь обнаруживается

довольно тесная корреляция, свидетельствующая о том, что в значительной мере обусловлено влиянием расхода активной щелочи.

Равномерное распределение точек вокруг некоторого геометрического центра привело бы нас к выводу об отсутствии корреляции между двумя переменными. Такие переменные не связаны друг с другом. Их изменение обусловлено влиянием не выявленных факторов.

Для выявления зависимости между переменными определяют коэффициент корреляции. Он характеризует корреляционную зависимость изменения среднего значения одной величины с изменением среднего значения другой. Примером корреляционной зависимости, кроме рассмотренного, является связь между плотностью и прочностью картона, динамическим модулем сдвига и прочностью на

разрыв бумаги и др.
Пусть	имеется выборка из N пар значений двух величин	xi и	yi
. Степень	линейной связи между ними может быть определена эмпирическим

коэффициентом корреляции r:

	r =			×		å(xi - x)(yi - y)
	s		s	N -1
		X	Y
где	x,	y		- средние значения переменных х i и у i;
	sX	, sY	- их средние квадратичные отклонения;

(19),

N - число пар точек.

Коэффициент линейной корреляции по своей величине может изменяться от - 1 до +1. Значение r = 0 указывает на отсутствие линейной корреляции между случайными величинами, значение же r = ±1 указывает на строгую функциональную линейную связь.

Вывод о наличии корреляционной зависимости важен для исключения того или иного фактора при исследовании. Для ответа на вопрос, указывает ли найденное значение г на какую-либо корреляцию между случайными величинами, применяют t-распределение Стъюдента.

Сначала выдвигаем гипотезу, что случайные величины х и у являются некоррелированными. Затем по формуле находим значение t_Р с числом степеней свободы f=N-2.

t		=	r
P		-

Если t_P

N -2	(20).
r

> t,найденное из табл. 3приложения,то гипотеза некоррелированности

случайных величин - необоснованная. В расчете используем абсолютную величину эмпирического коэффициента корреляции. Знак коэффициента указывает на характер связи: если с возрастанием одной величины возрастает и вторая, то знак положительный, в противном случае - отрицательный.

Если r значим, то между переменными можно установить зависимость в виде эмпирической прямой регрессии. Примем у в качестве зависимой переменной, х - в качестве независимой. Тогда прямая регрессия у на х имеет уравнение

y - y = r	s y	× (x - x)	(21),
sx

или

y = y + r	s	y	× (x - x).
s
	x

(22).

В уравнение подставляют r с тем знаком, который получился при расчете. После

подстановки соответствующих значений у, х, s y, sx, r получим уравнение прямой

y = b + kx

, в котором k не имеет смысла r. Поэтому в конечных результатах следует

указать как степень коррелированности величин (r), так и уравнение линии регрессии, графически изображающее функцию регрессии.

Отметим, что параметры найденного уравнения удовлетворяют принципу наименьших квадратов по y:сумма квадратов отклонений уi от рассчитанных поуравнению прямой регрессии меньше, чем сумма квадратов отклонений их от любой другой прямой.

Средняя ошибка уравнения определяется по формуле

myx = s y	1 - r		.	(23).

Это значит, что значение у, найденное по уравнению, будет колебаться в пределах y ± m_yx в 68,3 случаях из 100, в пределах у±2т_ух в 95,4 случаях из 100. '

Прямая регрессии х на у имеет уравнение

x = x + r	s	x	× (y - y)
	s		.
	y

Средняя ошибка уравнения m_xy = s_x 1 - r ².

(24).

(25).

Степень влияния переменных друг на друга может изменяться в зависимости от их значении. Такая связь называется нелинейной. Выбор уравнения нелинейности регрессии достаточно сложен.

Дата добавления: 2015-11-28