Геометрический способ.

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных

Дифференциальных уравнений

Постановка задачи Коши. Теорема Пикара Классификация численных методов решения задачи Коши. Одношаговые методы: явный и неявный метод Эйлера. Методы Рунге-Кутта. Многошаговые методы: методы Адамса-Башфорта и Адамса-Моултона. Схемы типа «предиктор-корректор».

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение вида .

Д.У. разрешимое относительно старшей производной имеет вид: (1)

Решением этого уравнения на называется такая функция , что выполняются условия:

1. ;

2. ;

3. .

Задача Коши для уравнения (1) называется задача нахождения такого решения, которое удовлетворяет начальным условиям:

…

Сведем систему уравнений (1) к уравнению первого порядка заменой:

, где .

Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение первого порядка с заданным начальным условием:

, (2)

(3)

Задача Коши описывается уравнениями (2)-(3). Существование и единственность решения задачи (2), (3) обосновывается теоремой Пикара: Если функция определена и непрерывна в области и удовлетворяет в G условию Липшица по переменной y, т.е.

где L - константа Липшица, то на некотором отрезке , 0< h< a существует и единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее начальному условию (3). Константа L зависит от области (от а и b).Если имеет ограниченную в G производную по у, то можно принять

Произведем классификацию методов решения задач Коши:

Метод Эйлера

Существует несколько способов получения расчетных формул метода Эйлера:

Геометрический способ.

Из задачи видно, что в т. известны
значение функции: , а значит и значение производной .
Следовательно, можно записать уравнение касательной (3)

При малом из (3) мало отличается от и, следовательно, точка может быть принята за новую начальную точку.

Процесс повторяется: строится уравнение касательной .

Выбирается и находится .

Общая формула имеет вид: (4)

График решения представляет собой ломаную линию, называемую ломаной Эйлера.

2. По формуле Тейлора.

Выпишем ряд Тейлора в окрестности т.

Используем линеаризацию, т.е. оставим в формуле лишь линейные члены

При : (5)

Получили формулу Эйлера , остаточный член которой характеризует локальную ошибку.

Порядок локальной (т.е. на одном шаге) ошибки метода Эйлера равен

Глобальная ошибка имеет порядок на единицу ниже, т.е.

Следовательно, метод Эйлера – метод первого порядка.

3. Разностный способ.

Рассмотрим уравнение (1) в т. Заменим первую производную разностным отношением:

Получим

Получили формулу идентичную формуле (5). Отметим, что порядок локальной ошибки совпадает с порядком аппроксимации производной.

4. Квадратурный способ.

Вспомним приведение к интегральному виду в методе Пикара.

При , получим

Заменим интеграл квадратурной формулой – простейшей одноточечной формулой левых прямоугольников:

Снова пришли к формуле Эйлера.

Существуют модификации метода:

1) Применим на квадратурную формулу правых прямоугольников:

получим или

неявную формулу Эйлера.

Для определения необходимо решить нелинейное уравнение:
, общий вид которого .

2) Используя формулу трапеций, тоже получим неявную формулу:

3) Интересно сочетание явного и неявного методов.

Рассмотрим неявную формулу трапеции .

Сделаем замену и по явной формуле Эйлера.

Получим

Полученная формула называется формулой Хьюна.

Теорема

Пусть в области функция

Если то заданное формулами Эйлера решение останется в G при любом разбиении и будет выполняться неравенство:

Доказательство:

Запишем формулы Эйлера на каждом шаге:

Просуммируем равенства:

первое утверждение доказано, а т.к. , то ломаная . Теорема доказана.

Теорема

Пусть при фиксированном разбиении с начальными значениями и построены ломаные Эйлера и соответственно.

Если в области, содержащей и при выполняется соотношение , то .

Доказательство:

Т.к. , то выполняется условие Липшица и справедлива оценка

Аналогично можно выписать оценки:

и т.д.

В общем случае .

Сходится ли ломаная Эйлера к решению задачи Коши (1), (2) при

Ответ дает следующая теорема.

Теорема (Существование и единственность)

Пусть на множестве функция - непрерывна и ограничена, т.е. и удовлетворяет условию Липшица по y.

Если , то

1. при ломаные Эйлера сходятся равномерно к непрерывной функции .

2. Функция непрерывно дифференцируема и является решением задачи Коши (1), (2) на отрезке .

3. при задача не имеет других решений.

Теорема имеет локальное значение, однако можно рассматривать конечную точку как начальную на продолжении отрезка и применить теорему снова.

Методы Рунге-Кутта

Идея построения явных методов Рунге-Кутта р-го порядка заключается в приближении к решению задачи Коши по формуле вида:

(9)

где - некоторая функция, приближающая отрезок ряда Тейлора до порядка р.

(10)

Если ,то получим метод Эйлера порядка р=1.

Для более (чем р=1) высокого порядка функцию берут многопараметрической, подбирая параметры так, чтобы происходило совпадение с рядом Тейлора до требуемого слагаемого.

Явные методы Рунге-Кутта более высокого порядка конструируются следующим образом:

Шаг 1

Вычисляются коэффициенты по формулам:

…

Шаг 2

Вычисляем коэффициент

Шаг 3

Осуществляем переход

.

Имеем р – стадийный метод Рунге-Кутта, задаваемый таблицей:

Из построения следует ряд свойств, которым удовлетворяют коэффициенты:

1. ;
2. .

При р=4 в практике применение находят две схемы:

В силу присутствия нулей в таблице коэффициентов, Классическая схема Рунге-Кутта используется чаще:

Схема имеет четвертый порядок точности.

Графическая интерпретация “Классического” метода Рунге-Кутта

Геометрический смысл коэффициентов - тангенсы углов наклона.

Пусть - решение задачи Коши (2, 3).

Проведем через т. касательную. Пусть т. В – пересечение касательной с вертикалью

- угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона) в точке

т. В имеет координаты - есть угловой коэффициент касательной, проведенной к интегральной кривой в т. В (ВF -отрезок этой касательной).

Проведем через т. прямую параллельную ВF (на рис. Это прямая ).

т. D имеет координаты есть угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в т. D (DE – отрезок этой касательной).

Проведем через т. прямую параллельную (DE). На рис. Это прямая .

т. F имеет координаты - угловой коэффициент касательной, проведенной к интегральной кривой в т. F.

Полученные четыре коэффициента углов наклона усредняются с коэффициентами

Из т. проводится прямая линия с усредненным угловым коэффициентом, пересечение которой с вертикальной прямой и дает новое приближение к точному решению .

Рассмотрим многошаговые методы.

Методы Адамса

Пусть дана задача Коши (2, 3). Решение удовлетворяет уравнению (11)

Экстраполяционный метод Адамса-Башфорта

Пусть на отрезке задана система узлов (не равноотстоящих) .

Интегрируя (2, 3) на отрезке будем иметь (12)

Заменим подынтегральную функцию в (12) интерполяционным многочленом, построенным по узлам . Удобно использовать интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования.

(13)

– разделенная разность нулевого порядка

– разделенная разность первого порядка и т.д.

При i=0 имеем – формула Эйлера 1-го порядка.

При i=1 (т.е. заменим подынтегральную функцию многочленом первой степени)

(14)

В случае равноотстоящей системы узлов при , имеем:

(14')

Для i=2 в случае равноотстоящей системы узлов

где - разделенная разность второго порядка:

В случае равноотносящей системы узлов формула упрощается. Получим: (15)

При i=3 для случая равномерной сетки (16)

Формулы (14) имеют 2-ой порядок точности, (15) – 3-й порядок, (16) – 4-й порядок. Метод Адамса–Башфорта – это явный линейный многошаговый экстрополяционный метод.

Интерполяционный метод Адамса–Моултона

Отличие от метода Адамса–Башфорта состоит в замене подынтегральной функции в равенстве (11) интерполяционным многочленом Ньютона, но начиная с узла (а не с ).

При i=0 имеем – неявный метод Эйлера (1-го порядка).

При i=1

.

При равностоящих узлах получим - метод трапеций (2-го порядка). Аналогично можно построить неявные методы Адамса–Моултона более высоких порядков

При i=2 – метод третьего порядка точности.

При i=3 – метод четвертого порядка точности.

Методы прогноза и коррекции (предиктор – корректор)

Под методами прогноза и коррекции понимаются методы, основанные на поочередном применении явных и неявных методов либо одинакового, либо разных порядков. Так в практике используют методы:

1-го порядка

2-го порядка

или для сеток постоянного шага h

3-го порядка

4-го порядка

В методах прогноза и коррекции допускают сочетание различных методов, но точность вычислений будет определяться наихудшим по точности методом. Применением первой (явной) формулы осуществляют расчет – прогнозируемого значения. Это значение подставляется во вторую (неявную) формулу и вычисляется скорректированное значение . Методы прогноза и коррекции позволяют контролировать шаговую погрешность сравнением значений и , полученных по явной и не явной формулам. Выбирают точность на шаге и применяют циклический алгоритм: Если то (переход к след. шагу) иначе (уменьшение шага интегрирования) ().

В многошаговых методах встает проблема подсчета стартовых значений функции . Например, для формулы Адамса–Башфорта (14') при i=1 имеем 2-х шаговую схему 2-го порядка

Значения даны условием (2, 3) задачи Коши, но следует подсчитать. После этого можно будет использовать 2-х шаговую схему. Чтобы не снижать точность, необходим подсчет так же со вторым порядком (или более высоким). Это возможно, например, использованием формул Хьюна 2-го порядка. Также возможно повышение точности за счет уменьшения шага в близи т. .

Дата добавления: 2015-12-08