Геометрический смысл

III. Производная.

Определение производной.

Пусть функция определена и непрерывна на интервале (а;в). Выберем два любых значения из этого интервала: (а;в) и (а;в).

Определение 1. Разность называется приращением аргумента функции в точке и обозначается : =

Определение 2. Приращением функции в точке называется разность между значением функции в точке и значением функции в точке :

.

Приращение функции в точке обозначают: :

.

Определение 3. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при , стремящемся к нулю

.

Если этот предел существует, то говорят, что функция имеет производную в точке , или что функция дифференцируема в точке .

Производную функции в точке обозначают:

; , таким образом,

.

Говорят, что функция дифференцируема в интервале (а;в), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Механический смысл производной

Пусть точка движется по прямой с переменной скоростью и функция описывает закон движения точки, как зависимость пути от времени . Тогда разность - это путь, пройденный за промежуток времени , а отношение - средняя скорость за время .

Если уменьшать промежуток времени так, что стремится к нулю , то определяет мгновенную скорость точки в момент времени как производную пути по времени.

Геометрический смысл

Пусть функция имеет график, который изображен на рисунке 1. Точки М и N принадлежат графику функции.

Прямая MN – секущая, она пересекает график в двух точках.

Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей MN, когда точка N стремится к точке М по кривой .

Пусть точка М на кривой соответствует значению аргумента , а точка N – значению аргумента (см.рис.1). Из определения касательной следует, что для ее существования в точке нужно, чтобы существовал предел , который равен углу наклона касательной к оси ОХ.

Из треугольника следует, что

Если производная функции в точке существует, то, согласно определению производной получаем: .

Следовательно, производная равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ или угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке М (, ). При этом угол наклона касательной определяется из формулы: .

4. Уравнение касательной

Рис. 2

На рисунке 2 изображен график функции - точка касания прямой к графику. - любая точка на касательной. Из имеем: . Из геометрического смысла производной следует, что . Поэтому имеем: , или , или - это уравнение касательной к графику функции в точке .

Из чертежа видно, что отрезок - часть приращения функции . Эту часть приращения называют дифференциалом функции в точке и обозначают . Отношение . Можно доказать, что . Поэтому имеем: . Производную функции иногда пишут как отношение дифференциалов: .

Дата добавления: 2015-11-26