Решение типовых задач

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Уральский государственный экономический университет

ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ

Комплексное исследование с описанием

статистического программного обеспечения

Типовые задачи с контрольными заданиями для студентов

всех специальностей дневной и заочной форм обучения.

УТВЕРЖДАЮ

Первый проректор университета

____________________________

А.Т. Тертышный

Екатеринбург

Комплексное задание для самостоятельной работы и методические указания к его выполнению.

В процессе изучения курса каждый студент выполняет домашнее задание, выполнение которого обеспечивает системную, последовательную работу студентов над курсом в течение всего времени его изучения по учебному плану.

Задание носит комплексный характер и охватывает основные методы статистического анализа, включающего группировки материалов статистического наблюдения; абсолютные, относительные и средние величины; статистические распределения и их основные характеристики; выборочный метод наблюдения; методы статистического изучения связи между явлениями; методы обработки и анализа рядов динамики; индексный метод.

При выполнении работы необходимо руководствоваться следующими требованиями:

1. Работа должна быть выполнена в отдельной тетради и представлена в срок (для заочников установленный планом; для дневников по графику преподавателя).

2. Работа должна выполняться в той последовательности, которая установлена в содержании контрольного задания.

3. Решение следует сопровождать необходимыми формулами, указав, что означают символы в них. Решение следует по возможности оформлять в виде таблиц. В конце каждого результата четко формулировать выводы.

4. Все расчеты относительных показателей нужно производить с принятой в статистике точностью до 0,001, а проценты - до 0,1.

5. Выполненная работа должна быть оформлена аккуратно, написана разборчиво, четко, без помарок и зачеркиваний.

6. Таблицы следует оформлять в соответствии с правилами, принятыми в статистике.

7. В конце работы следует привести список использованной литературы.

8. При удовлетворительном выполнении работа оценивается и допускается к собеседованию.

К собеседованию студент должен учесть все замечания рецензента и, не переписывая работы, представить работу над ошибками. После успешного прохождения собеседования студент получает зачет по работе и допускается к экзамену.

Если студент не может самостоятельно выполнить контрольную работу или какую-то ее часть, следует обратиться на кафедру экономической статистики за консультацией.

Каждый вариант работы включает два самостоятельных задания, охватывающих, практически, весь курс.

Содержание комплексного задания.

Задание 1.

1. Выбор варианта соответствует фамилии студента.

Начальная буква фамилии студента	Вариант
А,Л,Х
Б,М,Ц
В,Н,Ч
Г,О,Ш
Д,П,Щ
Е,Р,Э
Ж,С,Ю
З,Т,Я
И,У
К,Ф

2. Из прил. 1 изготовьте статистический формуляр в форме списка анализируемых предприятий, заполнив его исходной информацией из прил.

3. Задания к задачам (все варианты).

4. Проведите теоретический анализ исходной информации и назовите факторный и результативный признаки.

5. Постройте группировку предприятий по величине акционерного капитала, выделив мелкие, средние и крупные предприятия. По каждой группе определите число предприятий, величину факторного и результативного признаков в целом и в среднем на одно предприятие, удельный вес (долю) каждой группы по числу предприятий, величине факторного и результативного признаков. Сделать выводы о различии предприятий по группам и о наличии (отсутствии) связи между величиной факторного и результативного признаков. Результаты группировки представить в виде таблицы.

6. Проверьте первичные данные на однородность и нормальность распределения. Исключить резко выделяющиеся (аномальные) единицы (предприятия) из массива первичных данных (при наличии таковых).

7. По оставшемуся массиву данных постройте ряд распределения по величине акционерного капитала, по которому рассчитайте среднюю, моду, медиану, показатели вариации. Рассчитайте показатель фондовой дифференциации.

8. Предполагая, что массив исходных данных является пяти процентной выборочной совокупностью из общего массива данных (генеральной совокупности), определите:

а) среднюю величину акционерного капитала, гарантируя результат с точностью до 0,954;

б) долю предприятий, у которых акционерный капитал больше среднего значения, гарантируя результат с вероятностью до 0,954;

9. Установите наличие и характер связи между акционерным капиталом и прибылью, используя:

а) данные групповой таблицы;

б) поле корреляции;

в) график эмпирической линии регрессии.

10. Определите тесноту корреляционной связи, используя линейный коэффициент корреляции, дайте оценку его существенности.

11. Рассчитайте параметры и найдите уравнение парной регрессии. Дайте его эмпирическую интерпретацию.

12. По данным о величине прибыли по одному из предприятий, рассчитайте: 1) цепные и базисные: а) абсолютные приросты, б) темпы роста и прироста; 2) абсолютное значение одного процента прироста; 3) пункты роста; 4) средний уровень ряда; 5) средний абсолютный прирост; 6) средний темп роста и прироста.

13. Спрогнозируйте значение прибыли на первый квартал следующего года, используя метод аналитического выравнивания.

14. Определите абсолютную и относительную ошибки прогноза.

Задание № 2.

1. Выбор варианта соответствует фамилии студента.

Начальная буква фамилии студента	Вариант
А,Л,Х
Б,М,Ц
В,Н,Ч
Г,О,Ш
Д,П,Щ
Е,Р,Э
Ж,С,Ю
З,Т,Я
И,У
К,Ф

2. Подготовить макеты таблиц для решения задач, дополнив их графами расчетных показателей, необходимых для исчисления индексов. Заполнить таблицы исходными числовыми данными (см. решения примеров). Исходная информация единая для всех вариантов:

Задача 1 – графа «Базисный период»

Задача 2 – графа «Затраты на производство в базисном периоде»

Задача 3 – графы «Товарооборот в фактических ценах»

Задача 4 – графа «Базисный период»

3. Задание к задачам (все варианты).

Задача 1.

Определить:

1) индивидуальные индексы физического объема реализации и цены;

2) общие индексы цены и физического объема по методикам: а) Г. Пааше, б) Э. Ласпейреса;

3) общий индекс товарооборота (стоимости продажи), показать его взаимосвязь с индексами цены и физического объема;

4) абсолютное изменение товарооборота (в денежном выражении) всего и за счет:

а) изменение цены, б) изменения физического объема продажи (по Пааше и Ласпейресу).

Дать экономическую интерпретацию исчисленных показателей.

Задание выполнить по информации представленной в табл. 1

Таблица 1

Показатель	Базисный период	Отчетный период
Вариант
Объем продажи:
Продукт С, шт.
Продукт D, м
Цена:
Продукт С, р.
Продукт D, р.

Задача 2.

Определить:

1) индивидуальные индексы физического объема производства продукции;

2) общий индекс физического объема;

3) абсолютное изменение производственных затрат за счет изменения физического объема производства;

4) общий индекс затрат на производство, если себестоимость снизилась в среднем на 2,5%.

Дать экономическую оценку исчисленных показателей.

Задание выполнить по информации представленной в табл. 2.

Таблица 2

Изделие

Затраты на производство, тыс. р.

Изменение физического объема производства в отчетном периоде по сравнению с базисным, %

Вариант

баз. пер.

отч. пер.

А

-24

+12

+18

без изм.

-12

+9

без изм.

+10

-6

+20

Б

без изм.

+8

-2

+10

+6

+32

-8

+12

+5

без изм.

С

+30

без изм.

+4

-5

-2

-21

+12

без изм.

+14

+15

Задача 3.

Определите:

1) индивидуальные индексы цены;

2) общий индекс цены;

3) общие индексы товарооборота в фактических и сопоставимых ценах;

4) сумму денежных средств, затраченных населением в результате повышения цен.

Сделать выводы.

Задание выполнить по информации представленной в табл. 3.

Таблица 3

Вид продукции

Товарооборот в фактических ценах, тыс. р.

Изменение средних цен во II квартале по сравнению с I кварталом, %

I кв.

II кв.

Варианты

Одежда

+15

+12

+18

+10

+2

+20

+5

-

+8

+21

Обувь

+6

+5

+4

+8

-

+12

+7

-2

+6

+13

Трикотаж

+3

+2

-

+1

- 2

+8

-1,5

-3

+2

+5,8

Задача 4.

Определить

1) динамику цены единицы товара Б на субрынках;

2) по всем субрынкам: а) индекс средней цены переменного состава, б) индекс цены постоянного состава, в) индекс структурных сдвигов;

3) изменение средней цены в абсолютном выражении – всего и за счет изменения: а) цены на каждом рынке, б) структуры продажи.

Сделать экономические выводы.

Задание выполнить по информации представленной в табл. 4. Таблица 4

Показатель	Базисный период	Отчетный период
Вариант
Цена, р. за ед.:
Субрынок 1
Субрынок 2
Субрынок 3
Объем продажи, тыс. ед.:
Субрынок 1
Субрынок 2
Субрынок 3

Решение типовых задач

Пример расчета для задания 1.

Вариант № 0.

Выполняются задачи по следующим предприятиям:

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 5, 11, 13.

Выстроим их по порядку номеров:

4, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 20, 22, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48.

Всего 25 предприятий.

Исходные данные по этим предприятиям представим в табл. 5. Таблица 5

№ предприятия п/п	Акционерный капитал, млн р.	Прибыль, млн р.
4 квартал отчетного года	4 квартал предыдущего года	Отчетный год
квартал	квартал	квартал	квартал
		18,4 17,3 16,8 15,1 16,8 15,1 17,4 15,5 13,6 11,6 13,3 13,6 15,8 10,2 10,2 7,6 5,8 5,3 5,1 4,6	18,2 19,8 17,2 14,8 15,6 14,3 18,3 16,5 15,8 15,3 15,4 13,2 13,6 13,1 11,1 8,4 5,9 4,4 5,8 3,8	20,3 21,6 15,6 17,3 18,3 17,6 15,6 16,0 17,1 13,2 16,2 14,1 12,1 14,3 9,6 9,6 6,4 3,8 4,6 3,9	19,1 22,3 20,0 16,5 17,4 16,2 19,0 17,3 14,2 15,5 17,3 13,7 17,3 11,6 12,4 9,8 7,1 4,6 6,3 4,3	20,8 23,8 18,4 19,4 20,6 15,6 21,3 18,1 18,4 17,2 19,4 14,4 16,2 13,8 13,1 11,2 8,6 5,7 5,7 4,7
		3,4 5,6 5,1 3,1 5,1	3,7 5,4 5,9 3,3 4,3	4,2 5,7 4,8 3,4 5,2	3,0 5,9 5,6 3,7 5,7	4,8 6,7 6,3 3,6 5,0

На основе логического анализа определяем, что акционерный капитал является факторным признаком (x), так как его величина в значительной степени определяет прибыль предприятий, которая будет результативным показателем (y).

В соответствии с заданием 3 произведем группировку предприятий по величине акционерного капитала, выделив мелкие, средние и крупные предприятия. Величину интервала определим по формуле:

, где

максимальное значение акционерного капитала

минимальное значение акционерного капитала

n – желаемое число групп.

По данным табл. 5, гр. 2 рассчитаем

млн р.

Далее заполняем рабочую табл. 6. Нижнюю границу первого интервала принимаем равной минимальному значению признака. Верхнюю границу каждого интервала получаем прибавлением к нижней границе величины интервала.

Таблица 6

Группы предприятий по величине капитала, млн р.	Акционерный капитал, млн р. (4 кв. отч. года).	Прибыль, млн р. (4 кв. отч. года)
526-699   699-872   872-1045	690, 677, 649, 627, 605, 563, 543, 526 859, 821, 801, 785, 795, 778, 753, 717, 712 1045, 1004, 931, 924, 921, 901, 880, 873	5,7; 5,7; 4,7; 4,8; 6,7; 6,3; 3,6; 5,0 18,4; 17,2; 19,4; 14,4; 16,2; 13,8; 13,1; 11,2; 8,6 20,8; 23,8; 18,4; 19,4; 20,6; 15,6; 21,3; 18,1

Результаты группировки приведены в следующей аналитической табл. 7.

Таблица 7

Группы пред-ий по размеру акц. кап. млн р.	Число пред-ий	Акц. кап., млн р.	Прибыль, млн р.	Удельный вес, %
всего	в сред. на 1 пред.	всего	в сред. на 1 пред.	по числу пред.	по вел. акц. кап.	по вел. приб.
526-699 699-872 872-1045			610,0 780,1 934,9	42,5 132,3 158,0	5,30 14,70 19,75		25,2 36,2 38,6	12,8 39,8 47,4
Итого:			775,2	332,8	13,3

Значения показателей акционерного капитала и прибыли по каждой группе и по совокупности в целом получаются суммированием соответствующих значений по каждому предприятию.

Показатели в среднем на одно предприятие по каждой группе и по совокупности в целом рассчитываются делением суммарной величины акционерного капитала (или прибыли) на число предприятий по группе (или по совокупности в целом).

Показатели удельного веса (доли) рассчитываются делением соответствующего показателя по группе на итог по совокупности в целом.

По результатам группировки, проведенной в табл. 7 можно сделать следующие выводы:

Предприятия распределены практически поровну. В группе средних предприятий на одно больше, чем в других, но большая часть акционерного капитала (38,6%) сосредоточена в группе крупных предприятий и там получено 47,4% всей прибыли.

На долю мелких предприятий приходится 25,2% акционерного капитала, а прибыли всего - 12,8 %. Это свидетельствует о низкой эффективности деятельности предприятий этой группы.

Значения акционерного капитала и прибыли в среднем на одно предприятие значительно различаются по группам. Так, если в первой группе акционерный капитал составляет 610 млн р., во второй - 780,1 млн р., то в третьей - 934,9 млн р., что превосходит акционерный капитал предприятий первой группы более чем в 1,5 раза и акционерный капитал второй группы - в 1,2 раза.

Показатели прибыли также значительно различаются по группам. Так в первой группе прибыль на одно предприятие составляет 5,3 млн р., во второй - 14,7 млн р., в третьей - 19,75 млн р., т.е. в третьей группе прибыль на одно предприятие больше, чем в первой группе в 3,7 раза, а по сравнению со второй - в 1,3 раза.

Сопоставление роста прибыли по группам и роста величины акционерного капитала также свидетельствует о наибольшей эффективности предприятий третьей группы.

Необходимыми предпосылками корректного использования статистических методов анализа является однородность совокупности. Неоднородность совокупности возникает вследствие значительной вариации признака или попадания в совокупность резко выделяющихся, так называемых “аномальных” наблюдений. Для выявления “аномальных” наблюдений используют правило трех сигм, которое состоит в том, что “аномальными” будут те предприятия, у которых значения анализируемого признака будут выходить за пределы интервала:

или ,

где среднее значение факторного показателя,

среднее квадратичное отклонение по факторному показателю.

Выделив и исключив аномальные единицы, оценку однородности производят по коэффициенту вариации (V):

V= , который должен быть не более 33,3%. Для выявления «аномальных» наблюдений по первичным данным о величине акционерного капитала рассчитаем его среднюю величину () и среднее квадратичное отклонение (). Смотри табл. 8.

Таблица 8

№ пред- приятия п/п	Акцион. кап., млн р.	(	(	Прибыль, млн р.	(	(	Гр.3 *гр.6
		-22 -58 -63 -85 -98 -126 -148 -170 -212 -232 -249		20,8 23,8 18,4 19,4 20,6 15,6 21,3 18,1 18,4 17,2 19,4 14,4 16,2 13,8 13,1 11,2 8,6 5,7 5,7 4,7 4,8 6,7 6,3 3,6 5,0	7,5 10,5 5,1 6,1 7,3 2,3 8,0 4,8 5,1 3,9 6,1 1,1 2,9 0,5 -0,2 -2,1 -4,7 -7,6 -7,6 -8,6 -8,5 -6,6 -7,0 -9,7 -8,3	56,25 110,25 26,01 37,21 53,29 5,29 64,00 23,04 26,01 15,21 37,21 1,21 8,41 0,25 0,04 4,41 22,09 57,76 57,76 73,96 72,25 43,56 49,00 94,09 68,89	2404,5 795,6 908,9 1065,8 289,8 470,4 428,4 179,4 158,6 11,0 58,0 1,5 4,4 121,8 296,1 744,8 1083,6 2250,4 2066,7
Итого		-		332,8	-	1007,45	20714,7

Определяем средний размер акционерного капитала. Информацию берем из табл. 8.

; 775,2 775 млн р.

Среднее квадратическое отклонение

140,3 млн р.

Проверяем однородность совокупности по акционерному капиталу.

775- 420

355

Так как минимальное значение акционерного капитала (526 млн р.) больше нижней границы интервала (355 млн р.) а максимальное значение акционерного капитала (1045 млн р.) меньше верхней границы (1195 млн р.) то можно считать, что в данной совокупности аномальных наблюдений нет.

Теперь рассчитаем среднюю прибыль (), среднее квадратическое отклонение по прибыли () и сделаем проверку на «аномальность».

Информацию для расчетов берем из табл. 8.

13,3 млн р.

=6,35 млн р.

Проверка:

13,3 -

(-5,75) 32,35

Так как минимальное значение прибыли (3,6 млн р.) больше нижней границы (-5,75), а максимальное значение (23,8) меньше верхней границы (32,35), то можно считать, что в данной совокупности аномальных наблюдений нет.

Проверка однородности совокупности осуществляется по коэффициенту вариации (V)

Так как коэффициент вариации меньше 33,3%,следовательно, совокупность однородна.

После проверки на однородность строим ряд распределения, для чего необходимо определить число групп и величину интервала.

Используя формулу Стерджесса определим величину интервала (i):

,

где максимальное значение акционерного капитала,

минимальное значение акционерного капитала,

N-число единиц в совокупности.

Ограничимся пятью группами.

=103,8 или 104 млн р.

Произведем группировку в табл. 9.

Таблица 9

Группы предпр. по разм. акцион. капит., млн р.	Число предприятий	Середина интервала		S
526-630					-191
630-734					-87
734-838
838-942
942-1046
Итого:		-		-	-		-

Определяем среднюю ( по ряду распределения по средней арифметической взвешенной, для чего находим середину интервала (

млн р.

Определяем моду - это наиболее часто встречающаяся величина

,

где нижняя граница модального интервала,

размер модального интервала,

модальная частота,

частота, предшествующая модальному интервалу,

частота, следующая за модальным интервалом.

855,3 млн р.

Определим медиану

,

где нижняя граница медианного интервала,

размер медианного интервала,

полусумма частот,

сумма частот, накопленных до медианного интервала,

частота медианного интервала

777,3 млн р.

Далее рассчитаем показатели вариации:

1) Размах вариации (R)

R= 1045-526=519 млн р.

2) Линейное отклонение (d)-данные берем из табл. 9.

d= 111,56 млн р.

3) Дисперсия (

17028,84

4) Среднее квадратическое отклонение ()

130,5 млн р.

5) Коэффициент вариации (V)

V= 17%

Коэффициент вариации свидетельствует об однородности совокупности и надежности средней.

Для характеристики дифференциации предприятий по величине акционерного капитала, рассчитаем коэффициент фондовой дифференциации (

,

где -средняя из 10% максимальных значений акционерного капитала,

-средняя из 10 % минимальных значений акционерного капитала

10% от 25 составляет 2,5 предприятия, т.е. можно взять по 3 предприятия (максимальных или минимальных).

1045 1004 931 993

526 543 563 544

1,82

Следовательно, средняя из 10% максимального акционерного капитала почти в 2 раза выше средней из минимальных значений.

Далее производим расчет характеристик генеральной совокупности по выборочным данным.

Для определения характеристик выборочной совокупности воспользуемся результатами предыдущих расчетов. Так, по ряду распределения определили, что средняя величина акционерного капитала составляет 769 млн р., а дисперсия равна 17029 млн р.

Для расчета ошибок выборки следует воспользоваться формулами для бесповторного отбора, т.к. по условию можно определить численность генеральной совокупности (N):

Средняя ошибка выборки для средней величины (

,

где дисперсия выборочной совокупности,

число единиц выборочной совокупности,

N-численность генеральной совокупности

Т.к. n=25, что составляет 5% от численности генеральной совокупности, то N=500 или 0,05, тогда

25,96 млн р.

Предельная ошибка для средней

где t-коэффициент доверия, принимаемый в зависимости от уровня доверительной вероятности 0,954 и числа степеней свободы (К). К=n-1 для малой выборки определяется по таблице Стьюдента.

При вероятности =0,954 и К=24 значения t=2,0639

млн р.

Доверительный интервал

769-53,58 769+53,58

715 823

С вероятностью 0,954 можно гарантировать, что средняя величина акционерного капитала в расчете на одно предприятие по генеральной совокупности будет находиться в пределах от 715 млн р. до 823 млн р.

Долю предприятий, у которых акционерный капитал превышает среднюю величину (W) для выборочной совокупности определим по первичным данным (табл.5). Число таких предприятий 14, их доля в выборочной совокупности составляет

=0,56 или 56%

Средняя ошибка доли для бесповторного отбора

Предельная ошибка

При вероятности 0,954 t=2, тогда

Доверительный интервал

0,56-0,2

0,36 р 0,76

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно гарантировать, что доля предприятий у которых величина акционерного капитала больше среднего значения будет находиться в пределах от 36% до 76%.

Корреляционный анализ.

Корреляционной называется связь между факторным и результативным признаками, которая проявляется только «в общем и среднем» при массовом наблюдении фактических данных.

Условием корректного использования корреляционного метода является однородность совокупности, отсутствие «аномальных» наблюдений, достаточно большое число единиц совокупности.

Проверка исходных данных на однородность и аномальность проведена выше.

Теория корреляции решает следующие вопросы:

n содержательный анализ и установление факторного и результативного признаков;

n установление факта наличия связи, определение ее направления и формы;

n измерение тесноты связи

n расчет параметров регрессионной модели и нахождение аналитического выражения связи;

n оценка адекватности модели, ее экономическая интерпретация.

Содержательный анализ исходных данных выполнен ранее и установлено, что акционерный капитал – факторный признак (x), прибыль – результативный (y).

Установление факта наличия связи осуществляется на основе групповой табл. 10 и графическим способом путем изображения поля корреляции и графика эмпирической линии регрессии (рис.1)

Таблица 10

Группы предпр. по размеру акцион. капитала, млн р.	Число предприятий	Середина интервала (х)	Прибыль в сред. на 1 пред., млн р. (у)		ух		(теоретическ. уровни)
526-630 630-734 734-838 838-942 942-1046			5,28 7,18 15,68 18,83 22,3		3051,84 4896,76 12324,48 16758,7 22166,2	27,8784 51,5524 245,8624 354,5689 497,29	4,73 9,28 13,85 18,42 22,99
Итого			69,27		59197,98	1177,1521	69,27

Анализ табл. 10 свидетельствует о прямой связи между акционерным капиталом и прибылью предприятий (гр.3, гр.4).

Рис. 1

Эмпирическую линию регрессии (рис.1) строим по данным табл.10, принимая за середину интервала, за - прибыль в среднем на одно предприятие по каждой группе.

Направление эмпирической линии регрессии свидетельствует о наличии прямой зависимости между прибылью и акционерным капиталом предприятий.

Предполагая, что зависимость между акционерным капиталом и прибылью, имеет линейную форму, определяем тесноту связи на основе линейного коэффициента корреляции (). Для этого воспользуемся расчетами выполняемыми в табл. 10.

Коэффициент корреляции может быть в пределах от -1 до +1. Чем ближе к единице, тем теснее связь.

Значение r =0,979 свидетельствует об очень тесной связи между акционерным капиталом и прибылью. Связь прямая.

Для подтверждения этого необходимо дать оценку существенности линейного коэффициента корреляции, что можно выполнить на основе расчета t- критерия Стьюдента.

находим по таблице Стьюдента (прил. 3). Для числа степеней свободы к=n-2=25-2=23 и уровня значимости 1% =2,8073.

22,9 2,8073. Следовательно, с вероятностью 0,99 можно утверждать, что в генеральной совокупности существует достаточно тесная зависимость между величиной акционерного капитала и прибылью предприятий.

Для анализа общего качества оцененной линейной регрессии обычно используют коэффициент детерминации. Для случая парной регрессии это квадрат коэффициента корреляции переменных Х и У (r).

В нашей задаче r² = 0,979² = 0,96

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменной, объясненной с помощью данного уравнения.

Интерпретация полученного коэффициента такова: r = 0,96 умножается на 100 и выражается как процентная доля вариации У, которая объясняется вариацией Х.

Таким образом, в нашем примере 96% изменения прибыли объясняется изменением акционерного капитала.

Параметры уравнения регрессии (а и в) определяем способом наименьших квадратов из системы уравнения (расчеты в табл. 10).

Для решения системы информацию берем из табл. 10.

5а+3930в=69,27

3930а+3197140в=59197,98

а=

54446,22-3088980в+3197140в=59197,98

108160в=4751,76

в=

а=

=-20,7+0,044х

Коэффициент регрессии в=0,044 свидетельствует о том, что при увеличении акционерного капитала на 1 млн р. прибыль возрастет на 0,044 млн р. или на 44 тыс. р.

По коэффициенту регрессии определяем коэффициент эластичности (Э) и -коэффициент.

0,97

Следовательно, при увеличении акционерного капитала на 1%, прибыль увеличится на 2,54%.

При увеличении акционерного капитала на одно свое среднеквадратическое отклонение прибыль увеличится на 0,97 своих среднеквадратических отклонений.

Анализ рядов динамики проведем на примере динамики прибыли по одному из предприятий, входящих в совокупность, в частности по предприятию № 5.

При анализе будут использованы следующие показатели:

1) характеризующие изменение прибыли по периодам:

а) абсолютный прирост (Δa);

б) темп (коэффициент) роста ;

в) темп прироста .;

г) абсолютное значение одного процента прироста (А).

Все эти показатели могут быть рассчитаны цепным и базисным методом. Цепные показатели динамики характеризуют изменения каждого последующего показателя по сравнению с предыдущим, а базисные по сравнению с уровнем, принятым за базу сравнения (в этой работе – с первоначальным уровнем).

,

где

- уровень сравниваемого периода

- уровень предыдущего периода

- первоначальный уровень (здесь базисный).

Существует взаимосвязь между цепными и базисными темпами роста, выраженными коэффициентами: произведения последовательных цепных темпов роста равно соответствующему базисному.

2)Абсолютное значение одного процента прироста рассчитывается отношением цепного абсолютного прироста к темпу цепного прироста.

3)Пункты роста () представляет собой разность базисных темпов роста, выраженных в процентах

4)Средние показатели динамики определяются для обобщающей характеристики ряда. К ним относят:

а) средний уровень ряда для периодических рядов с уровнями, выраженными абсолютными величинами

б) средний абсолютный прирост ( а)

,

где n- число уровней ряда.

в) средний коэффициент роста ()

г) средний темп роста

д) средний темп прироста

Результаты расчетов этих показателей по данным о прибыли предприятия № 5 за период с 4 квартала предыдущего года по 4 квартал отчетного года приведены в табл. 11.

Таблица 11

Периоды	При- быль млн р.	Абсолют. приросты млн р.	Темпы роста (%)	Темпы прироста (%)	Абсол. содерж. 1% прир. млн р.	Пункты роста %
цепные	баз.	цепные	баз.	цепные	баз.
4 кв. пред. пер. 1 кв. 2 кв. 3 кв. 4 кв.	17,3 19,8 21,6 22,3 23,8	- 2,5 1,8 0,7 1,5	- 2,5 4,3 5,0 6,5	- 114,5 109,1 103,2 106,7	- 114,5 124,9 128,9 137,6	- 14,5 9,1 3,2 6,7	- 14,5 24,9 28,9 37,6	- 0,173 0,198 0,219 0,223	- - 10,4 4,0 8,7

Расчет средних показателей

а) средний уровень ряда млн р.

Следовательно, в изучаемом периоде в среднем ежеквартально прибыль предприятия составляла 20,96 млн р.

б) средний абсолютный прирост

1,625 млн р.

Следовательно, в изучаемом периоде в среднем ежеквартально прибыль предприятия увеличилась на 1,625 млн р.

в) среднегодовой темп роста

10,83%

Следовательно, в изучаемом периоде ежеквартально темп роста в среднем составлял 108,3%.

г) средний темп прироста 108,3-100=8,3%.

Следовательно, в среднем ежеквартальный темп прироста прибыли составлял 8,3%.

Прогноз прибыли на 1 кв. следующего периода составим на основе выявления основной закономерности изменения прибыли в прошедшем периоде, для чего используем трендовую модель по уравнению прямой: ,

где прогнозный уровень

«а» и «в»- параметры уравнения

t - порядковый номер на периоде.

Параметры «а» и «в» определяем способом наименьших квадратов из следующей системы уравнений:

где y- фактическая прибыль по периодам

n- число уровней.

Решение оформим табл. 12.

Таблица 12

Периоды	Прибыль в млн р. у	Порядковый номер периода t	уt				(y-
4 квартал предыдущего года	17,3		17,3		17,86	0,56	0,3136
1 кв.	19,8		39,6		19,41	0,39	0,1521
2 кв.	21,6		64,8		20,96	0,64	0,4096
3 кв.	22,3		89,2		22,51	0,21	0,0441
4 кв.	23,8		119,0		24,06	0,26	0,0676
Итого:	104,8		329,9		104,8	-	0,987

Решение:

5а+15в=104,8

15а+55в=329,9

329,9

314,4-45в+55в=329,9

10в=15,5

в=1,55 16,31

Следовательно, 16,31+1,55t

Так как 1 кв. следующего года имеет порядковый номер квартала- 6, то прибыль (прогнозная) составит

16,31+ 25,61 млн р.,

где 6 - порядковый номер прогнозного периода.

Используя приведенное уравнение, рассчитаем для каждого периода теоретическое значение прибыли (результаты см. в табл. 12).

У нас 104,8, что подтверждает правильность расчетов.

Но это точечный прогноз. Однако фактическое значение всегда будет сколько-нибудь отличаться от этой величины, поэтому надо определить доверительные интервалы прогноза ()

,

где s-среднее квадратическое отклонение от тренда;

- табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости а.

,

где 1) -фактические и теоретические уровни;

2) m- число параметров в уравнении тренда (m=2).

- берем из табл. 12.

0,5736

Относительная ошибка уравнения

4,3%

Следовательно, ошибка невелика и составляет чуть более 4%.

при уровне значимости 5% (что соответствует вероятности 0,95) и числе степеней свободы (n-m)=3 равно 3,182 (по таблице Стьюдента).

,

тогда 25,61-0,82 25,61+0,82

24,79 26,43

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что прибыль предприятия № 5 в 1 квартале следующего года будет находиться в пределах от 24,79 млн р. до 26,43 млн р.

Применение методов наименьших квадратов для обработки рядов динамики не требует выдвижения никаких предположений о законах распределения исходных данных. Однако при использовании метода наименьших квадратов для обработки связных рядов следует учитывать наличие автокорреляции.

Наиболее распространенным примером выявления наличия автокорреляции в отклонениях от тренда, является использование критерия Дарбина-Уотсона, который рассчитывается по формуле

Эмпирическое правило гласит, что если критерии Дарбина-Уотсона находится в пределах до 2,5, то не существует автокорреляции.

Расчет критерия Дарбина-Уотсона произведем в табл. 13.

Таблица 13

Периоды
IV кв. предыд.г	17,3	17,86	- 0,56	0,39	0,3136	0,95	0,9025
I квартал	19,8	19,41	0,39	0,64	0,1521	0,25	0,0625
II квартал	21,6	20,96	0,64	- 0,21	0,4096	- 0,85	0,7225
III квартал	22,3	22,51	- 0,21	- 0,26	0,0441	- 0,05	0,0025
IV квартал	23,8	24,06	- 0,26	-	0,0676	-	-
Итого	104,8	104,8			0,987		1,69

Так как коэффициент Дарбина-Уотсона находится в пределах до 2,5 (DW = 1,71), то отклонение уровней от тенденции (так называемые остатки) случайны и нет оснований утверждать, что не выполняются условия, выполнение которых предполагалось при оценивании уравнения тренда, и, следовательно, нет оснований для дополнительных исследований.

Дата добавления: 2015-12-08