Задача о поршне в акустической постановке для случая плоских волн.

Рассмотрим задачу о поршне, вдвигаемом в трубу или выдвигаемом из трубы постоянного поперечного сечения(), заполненной газом. Решение будем строить в рамках рассматриваемого линейного приближения (акустической постановки). Итак, пусть в трубе, заполненной покоящимся газом с параметрами , в момент времени из положения начинает двигаться поршень с постоянной скоростью . Требуется рассчитать движение и параметры газа при . Эта задача с граничным условием, т. к. наличие движущегося поршня означает, что на нем должно быть выполнено граничное условие непротекания, т. е. скорость частиц газа, прилегающих к поршню, должна равняться скорости поршня . На нижеследующих рисунках 3.14, 3.15 представлена картина течения в физической и фазовой плоскостях для случая вдвигаемого (Рис. 3.14) и выдвигаемого(Рис. 3.15) поршня.

Рис. 3.14 Картина течения в физической и фазовой плоскостях для случая вдвигаемого поршня

Рис. 3.15 Картина течения в физической и фазовой плоскостях для случая выдвигаемого поршня

Представленная на Рис. 3.14, 3.15 графическая интерпретация течений в физической и фазовой плоскостях стала возможной благодаря анализу возможных состояний нашей системы на плоскости - диаграмм (Рис. 3.16).

Рис. 3.16. - диаграмма в задаче о поршне

Как было показано ранее, аналогом характеристики в фазовой плоскости с уравнением в рассматриваемой нами плоскости переменных является прямая , проходящая через точку с координатами . Эта прямая – суть условие постоянства левого инварианта Римана при пересечении характеристики по направлению вдоль характеристики - отображает множество возможных состояний газа за правой У. В. В нашей задаче среда по которой могут распространяться возмущения (волны), инициируемые движущимся поршнем, расположена справа от поршня. Поэтому множество возможных состояний “1”, в которые может перейти газ из состояния “0”, будет располагаться на прямой постоянных значений левого инварианта Римана :

, т.к.

Значение скорости в виду наличия левого граничного условия в задаче – условия непротекания на поверхности поршня – позволяет найти величину давления за волной . По найденному значению давления найдем величину плотности из уравнения состояния. Значение в случае вдвигающегося поршня будет больше начального , т. е. вправо побежит У. В. сжатия, в случае выдвигающегося поршня величина будет меньше , т.е. вправо побежит У. В. разрежения. Заметим также, что при величине равной значение и при дальнейшем увеличении абсолютной величины скорости при выдвижении поршня газ “оторвется от поршня”, т. е. вблизи поршня образуется область вакуума.

Дата добавления: 2015-10-23