Унитарные операторы.

Пусть V – унитарное пространство, - линейный оператор на нем.

Опр. - унитарный оператор, если .

Предложение. - унитарный оператор имеет унитарную матрицу в ортонормированном базисе.

Т.к. .

Теорема. Для любого унитарного оператора в конечномерном векторном унитарном пространстве существует ортонормированный базис, в котором он имеет матрицу вида

В частности, все собственные числа равны по норме единице.

(1) Пусть x - cобственный вектор с собственным числом . Тогда .

(2) Рассмотрим собственный вектор - его собственное значение. . Тогда выполнено инвариантно. Так как , то . По индукции взяв искомый базис в и добавив и получим искомый базис всего пространства.

АФФИННЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Основное поле - K.

Опр. Пара , где - векторное пространство называется аффинным пространством, если задано отображение такое, что выполнено (под «+» подразумевается ):

1)

2)

3)

В последнем свойстве иногда пишут или . Элементы A называют точками аффинного пространства. Само аффинное пространство называют ассоциированным с . Кроме того, говорят, что у аффинного пространства есть размерность:

Опр. Размерность А:

Изоморфизм

Пусть - два аффинных пространства, ассоциированные с одним и тем же векторным пространством .

Опр. Биективное отображение называется изоморфизмом, если . Это частный случай аффинно-линейного отображения, а именно:

Опр. Отображение (где ассоциировано с , а - с ) называется аффинно-линейным, если существует линейное отображение такое, что . Иногда Df называют линейной частью, или дифференциалом для f.

Утверждение. f – биективно Df биективно.

Теорема. Аффинные пространства одинаковой размерности изоморфны.

Пусть и - два аффинных пространства одинаковой размерности. Построим изоморфизм . Зафиксируем . Положим для . Проверим определение. Пусть - произвольная точка, - произвольный вектор. . Поэтому . Итак f – искомыйизоморфизм.

Дата добавления: 2015-10-26