Единственность ЖНФ

Теорема 2. ЖНФ матрицы A единственна с точностью до перестановки клеток.

Пусть A – жорданова матрица n x n. , где - жордановы клетки.

Обозначим: - число клеток J_m,l среди . Сначала выведем формулу для . Пусть A: V®V – линейный оператор на n-мерном пространстве с матрицей A.

Обозначим: Тогда Здесь - единичные матрицы соответствующих размеров.

1) Если и , то размер (A_j).

2) Если , то - матрица нильпотентного оператора B = A - lE на циклическом (для B) подпространстве U. Вычислим Пусть v, Bv, …, B^s-1v – циклический базис для B в U. Тогда B^t(U) = < B^tv, …, B^s-1v> (или 0, если ). Отсюда , если t < s и u = 0 если .

3) Найдем разность для A. Пусть - размеры всех клеток среди с собственным числом l. Тогда для клеток с числом имеем разность можно считать только по клеткам с . Поэтому Т.е. - число клеток J_m,l среди , у которых . Отсюда ) - ( - число клеток J_k+1,l Þ формула , где

Пусть A и D матрицы двух жордановых нормальных форм одного оператора с матрицей В. Тогда: ( - некоторая матрица), . Поэтому

(т.к. F является невырожденной). Преобразование мы использовали следующее: . Таким образом, . Это и есть единственность. ð

28.02.05

БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ

Определение.

F – поле, V – векторное пространство над эти полем.

Опр. Функция называется билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу. То есть:

1)

2)

Матрица билинейной формы.

Пусть - базис V. Обозначим .

Опр. называют матрицей билинейной формы f в базисе .

Координатная запись. , . Тогда:

, где

, , , а .

Изменение матрицы билинейной формы при замене базиса.

Пусть и - два базиса пространства V. Пусть С – матрица перехода от базиса к базису . Пусть

Тогда:

, . Отсюда

, где - матрица в базисе . С другой стороны , где - матрица в базисе .

Замечание. Если для любых столбцов выполняется равенство , то матрицы В и А равны.

Пусть ,

(в смысле, что единица стоит на i-ом и j-ом месте соответственно; ни в коем случае не подразумевается вычитание) .

Учитывая замечание, получаем: .

Дата добавления: 2015-10-26