Схема Бернулли повторных испытаний. Наивероятнейшее число положительных исходов в схеме Бернулли.

Схема Бернулли повторных испытаний.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или не появиться. Вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равно р. Следовательно вероятность не наступления события А равно q=1-p.

Задача: Вычислить вероятность того, что при n испытаний событие А осуществиться ровно k раз - P_n(k), причем последовательность не имеет значения.

Вывод формулы:

По теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность наступления события А из n испытаний k раз равна p^kq^n-k

Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k, т.е

Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

или

Полученную формулу называют формулой Бернулли

Наивероятнейшее число положительных исходов в схеме Бернулли.

Число k*, при котором биномиальные вероятности P_n(k*) достигают своего максимального значения (при фиксированном числе испытаний n) называют обычно наиболее вероятным наивероятнейшим числом успехов. Справедливо следующее утверждение о наивероятнейшим числе успехов:

Наивероятнейшее число успехов k* в серии из n независимых испытаний Бернулли (с вероятностью успеха р в одном испытании) определяется соотношением np-q£k*£np+p

10. Приближенные формулы вычисления вероятности в схеме Бернулли: теорема Пуассона, теоремы Муавра-Лапласа (локальная и интегральная). Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Приближенная формула Пуассона используется в том случае, когда число испытаний Бернулли (n) – велико, а вероятность успеха в отдельном испытании мала (p<0,1). Тогда

P_n(m)»

Локальная формула Муавра-Лапласа

Если в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний n велико, а вероятности успеха и неудачи не малы (например, 0,1<p<0,9), то вероятность P_n(m) появления ровно m успехов в n испытаниях вычисляется по формуле:

, причем

Интегральная формула Муавра-Лапласа

Для вычисления вероятности P_n(m₁,m₂)= P(m₁£m£m₂) события, состоящего в том, что число успехов в n испытаниях Бернулли окажется заключенным в пределах от m₁ до m₂, используется следующая приближенная формула:

, причем:

·

· - функция распределения стандартного нормального закона

· - формула Лапласа

·

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Требуется найти, вероятность того, что отклонение относительной частоты m/n от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа ε>0. Другими словами, найти вероятность осуществления неравенства |m/n-p|<= ε

Дата добавления: 2015-10-26