Изгиб. Поперечные силы и моменты в сечениях при изгибе

При плоском изгибе вся нагрузка расположена в главной плос­кости стержня ху (рис. 4, а), поэтому она не дает проекций на ось z и моментов относительно осей х,у. Следовательно, в любом се­чении балки и отличными от нуля останутся только три величины: , Q_y и M_z. Эти усилия действуют в сечении рам и криволинейных стержней.

В балках же, при нагрузке, перпендикулярной к оси продольная сила также равна нулю

Если в поперечном сечении возникает только один изгибающий момент M_x, то такой изгиб называется чистым.

В большинстве случаев дополнительно к изгибающему моменту возникает поперечная сила Q_y, и такой изгиб называется поперечным.

Если внешняя нагрузка и реактивные усилия лежат в одной плоскости, то такой изгиб называется плоским.

Правила знаков для изгибающего момента – Изгибающий момент принимается положительным, если он изгибает элемент балки так, нижние волокна оказываются растянутыми, т.е. ось балки искривляется выпуклостью вниз.

Правила знаков для поперечной силы – Поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть элемент балки по ходу часовой стрелки.

Растянутая зона Поэтому в дальнейшем будем считать, что в любом сечении балки могут быть два усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент М.

Установим следующие правила знаков для Q и М в балках.

1) поперечная сила Q в сечении положительна, если ее вектор стремятся вращать части рассеченной балки по часовой стрелке (рис. 9, а);

2) изгибающий момент М в сечении положителен, если он вызывает сжатие в верхних волокнах балки и направлен так, как по­казано на рис. 9, а.

Рис 9 Отрицательные направления Q и М показаны на рис. 9, б.

Для практических вычислений, однако, можно рекомендовать следующее: 1. Если внешняя сила стремится повернуть балку относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке, то в выражении для Q в этом сечении она дает положительное слагаемое. Так, реакция R_A (рис. 10, а) стремится повернуть балку относительно сечения С по часовой стрелке, а силы Р и R_B — против нее. Поэтому попереч­ная сила в сечении С

2. Если внешняя нагрузка создает относительно рассматрива­емого сечения момент, вызывающий сжатие верхних волокон балки, то в выражении для М в этом сечении она дает положительное сла­гаемое.

2.6. Построение эпюр Q и M для балок

Рассмотрим порядок построенияэпюр Q u M для наиболее ха­рактерных случаев нагружения балок.

Сосредоточенная сила на свободном конце консоли (рис. 10). Балка имеет лишь один участок. На­чало координат выбираем в крайней левой точке А балки, ось х направляем вдоль оси балки направо

Вычисляем Q и М в произвольном сечении с абсциссой х.

Справа от рассматриваемого се­чения действует только одна сила P, поэтому

Поперечная сила одинакова во всех сечениях балки, по этому эпюра Q имеет вид прямоугольника. Функция М (х) линейна.

Рис 10 Для построения ее графика достаточно получить две точки — в начале и в конце участка: при X = 0 (сечение А) , при х = l (сечение В) .

Положительные ординаты эпюр Q и М откладываем вверх от базы.

На рис. 10 штриховой линией показана балка в деформиро­ванном состоянии. Как Сжаты нижние волокна балки. Если совместить базисную линию эпюры изгибающих мо­ментов с осью балки, то эпюра М окажется как бы построенной на сжатых волокнах.

Равномерно распределенная нагрузка ин­тенсивностью q кгс/м на консоли (рис. 11). Попе­речную силу и изгибающий момент в произвольном сечении X бу­дем вычислять как результат действия распределенной нагрузки, расположенной слева от сечения:

Поперечная сила Q (х) изменяется по закону пря­мой линии, а изгибающий момент М (х) — по параболическому закону. Для построения эпюры Q вычисляем ординаты в двух точ­ках:

при х = 0 Q_A = 0; при х = l Qb= — gl и проводим прямую.

Эпюра М криволинейна, для ее построения вычисляем ординаты в трех сечениях:

и проводим через полученные три точки кривую.

Нагрузка интенсивностью q н/м, равно­мерно распределенная по всей длине про­лета двухопорной балки (рис. 12).

В данном случае необходимо сначала определить опорные реакции. Равнодействующая всей распределенной нагрузки равна gl, и линия действия ее проходит через середину балки. Поэтому

|

Вычисляя поперечную силу и изгибающий момент в произволь­ном сечении x как результат действия сил, расположенных слева от сечения x, (левую часть мысленно отбрасываем) получим

Эпюра Q будет прямоли­нейной, а эпюра М — параболической. Для построения эпюр вычисляем:

Чтобы определить экстремальное значение изгибающего момента, приравниваем нулю производную от изгибающего момента М(х) по абсциссе х сечения:

Так как вторая производная , то в сечении при имеем максимальное значение момента:

Сосредоточенная сила Р, приложенная к двухопорной балке (рис. 13).

Прежде всего найдем опорные реакции:

В данном случае имеем на балке два участка. Вычисляем Q и М в произвольном сечении К₁ на участке АС (0 х а):

Следовательно, во всех сечениях участка поперечные силы одинако­вы и эпюра Q имеет вид прямоугольника.

Изгибающий момент М (х) изменяется по линейному закону:

Для построения эпюры вычисляем ординаты на границах участка:

при х = 0 Ма = 0;

при х = а

В произвольном сечении К₂ на участке СВ (а х l), рас­сматривая действие сил, расположенных справа от него, получим

;

Как и на участке АС, эпюра Q на участке СВ также имеет вид прямоугольника. Для построения эпюры М находим значения ординат в точках С и В

при х; = а M_C =

при х: = / M_B = 0.

Эпюры пред­ставлены на рис. 13. Они показывают, что при х ~ а функция Q (х) терпит раз­рыв и на эпюре Q получается скачок, равный по абсолютной величине внеш­ней силе Р в этом сечении,на эпюре М в этом сечении имеет место излом (угловая точка).

Сосредоточенный момент в пролете двухопорной балки (рис. 14).

Находим опорные реакции, на­правив их вверх:

- отсюда

Меняем направление R_A на обратное. Отметив на участках АС и СВ произвольные сечения х1 и х₂, записываем уравнения для функций О (х) и М (х):

для участка АС (0 х а)

;

для участка СВ (а ; х /)

;

На основании этих уравнений строим эпюры Q и М. Эпюра М расположена частично под осью, частично над осью. Поскольку она построена на сжатых волокнах, видим, что на участке АС сжаты нижние волокна балки, а на участке С В — верхние. Этому соответ­ствует изображенная штриховой деформированная ось балки. В том сечении, где изгибающий момент меняет знак, на ней будет точка перегиба.

Там, где приложен внешний момент (сечение С), на эпюре Q изменений нет, а функция М (х) претерпе­вает разрыв и на эпюре М получается скачок, равный по величине внешнему моменту.

Сосредоточенные моменты на опорах однопролетной балки (рис. 15).

Рис 15

Находим опорные реакции:

Тогда для произвольного сечения, находящегося на расстоянии х от левой опоры,

Q(x) =R_A = 0; М(х) = М = const.

Итак, в любом сечении Q = 0, а изгибающий момент постоянен вдоль балки. Такой случай изгиба носит название чистого изгиба.

Дата добавления: 2015-07-07