Крутящие моменты. Эпюры крутящих моментов

Деформация кручения наиболее распространена в валах. Если нагрузка на прямолинейный стержень (вал) состоит только из мо­ментов М_К, плоскости которых перпендикулярны к оси стержня, то из шести усилий и моментов в у любом сечении остается толь­ко крутящий момент М_кр.

Внутренний момент М_кр выражается через внешние М_к: М_крв сечении равен сум­ме внешних моментов M_Ki расположенных по одну сторо­ну от сечения.

Если стержень (вал) вращается равномерно, то алгебраическая сумма всех М_к равна нулю. Поэтому резуль­тат получится один и тот же, будем ли при вычислении М_кр брать сумму моментов М_к, расположенных слева или справа от сечения.

Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он поворачивает сечение по ходу часовой стрелки.

Внимание! Это правило знаков условное и не совпадает с принятыми правилами знаков моментов, углов поворота в теоретической механике и математике, поскольку связано не с системой координат, а с видом деформации оставленной части, точно также, как правило знаков для продольного усилия связано не с направлением оси z, а с видом деформации рассматриваемой части бруса.

■ Построение эпюры крутящих моментов принципиально ничем не отличается от построения эпюры продольных сил. Положительные значения откладываются вверх от горизонтальной базовой линии

Рассмотрим в качестве примера построение эпюр крутящих мо­ментов для трансмиссионного вала, схема которого представлена на рис. 3.

Рис 3.

Разбиваем стержень на участки /, //, ///, IV. Выбираем на­чало координат в крайней левой точке вала. Так как трением в под­шипниках пренебрегаем, то в любом сечении на участке /

(0< х < а) М = 0

Проведя произвольные сечения с переменной абсциссой х, на остальных участках вала получим соответственно:

II участок (а < х < 2а): М_кр = М_к1 = 160 н • м (слева);

III участок (2а < х < За); М_Kp = М_к1 + М_к2 = (160 + 80) н • м = 240 н • м (слева);

IVучасток (За < х < 5а): М_кр = М_{к 1} + М_к2–М_к3 = (160 + 80 - 300) н • м = –60 н • м (слева);

М_кр = — М_к4 == — 60 н • м (справа).

Величины крутящих моментов на всех участках не зависят от абсциссы сечения, поэтому эпюра крутящих моментов имеет вид трех прямоугольников (рис. 3, б). В тех сечениях, где приложены сосредоточенные внешние моменты М_K, получаются скачки на ве­личину этих моментов. Заметим, что в месте скачка крутящие мо­менты не определяют. Их вычисляют на бесконечно близких рас­стояниях слева и справа от скачка.

Построенная эпюра (рис. 3, б) показывает, что, хотя к валу и приложен момент М_кз = 300 н • м, наибольший крутящий момент в сечении равен лишь 240 н • м. Эту величину и следует использовать при расчете на прочность и жесткость. Направление крутящих моментов в сечениях наиболее загруженной части вала — участке III — показано на рис. 3, в.

На практике часто бывают заданы не моменты М_к н • м, приложенные к дискам (шкивам или зубчатым колесам), а переда­ваемые на них или снимаемые с них мощности N вт и число обо­ротов вала в минуту п. Установим зависимость между этими вели­чинами.

Как известно из курса теоретической механики, момент совер­шает работу на угле поворота. Обозначив угловую скорость вала через , найдем, что за t с диск повернется вместе с валом на угол

рад

и момент М_к н • м совершит работу и мощность

где n – число оборотов в минуту

2.3. Балки и опоры. Реакции и их вычисление

Балками будем называть прямолинейные стержни, работающие на изгиб. В сопротивлении материалов термин «балка» значительно шире, чем в обычном употреблении этого слова: с точки зрения расчета на прочность, жесткость и устойчивость балкой является не только строительная балка, но также и вал, болт, ось железно­дорожного вагона, зуб шестерни и т. д.

Вначале ограничимся построением эпюр для простейшего случая изгиба балок, при котором все заданные нагрузки лежат в одной плоскости, называемой силовой (на рис. 4, а — плоскость П), при­чем эта плоскость совпадает с одной из главных плоскостей балки. Такой слу­чай будем называть плоским изгибом.

На расчетной схеме балку принято заменять ее осью (рис. 4, б). При этом все нагрузки, естественно, должны

Рис 4 быть приведены к оси балки и силовая плос­кость будет совпадать с плоскостью чер­тежа.

Как правило, балки имеют опорные устройства — опоры. Для расчета же их схематизи­руют в виде трех основных типов опор:

а) шарнирно-подвижная опора (рис. 5, а), в которой может возникать только одна составляющая реакции — , направленная вдоль опорного стерженька;

б) шарнирно-неподвижная опора (рис. 5, б), в которой могут возникать две составляющие — вертикальная реакция игори­зонтальная реакция

в) защемление (иначе жесткое защемление или заделка), где могут быть три составляющие — вертикальная и горизонтальная реакции и опорный момент Ма (рис. 5, в).

Рис 5

Все реакции и моменты считаются приложенными в точке А — центре тяжести опорного сечения.

Балка, показанная на рис. 6, с, называется простой, или однопролетной, или двухопорной, а расстояние l между опорами — пролетом.

Рис 6

Консолью называется балка, защемленная одним концом и не имеющая других опор (рис. 4, б), или часть балки, свешивающаяся за опоры (часть ВС на рис. 6, б; части АС и BD на рис. 6, е). Бан­ки, имеющие свешивающиеся части, называют консольными (рис. 6, б, в).

Для плоской системы сил можно составить три уравнения статики для определения неизвестных реакций.

Поэтому балка будет статически определимой, если число неизвестных опор­ных реакций не превышает трех; в противном случае балка стати­чески неопределима. Очевидно, что балки, изображенные на рис. 4 и 6, статически определимы.

Рис 7

Балка, изображенная на рис. 7, а, называется неразрезной и яв­ляется статически неопределимой, поскольку имеет пять неизвестных опорных реакций: три в опоре А и по одной в опорах В и С.

Поставив в сечениях балки шарниры, например в точках D и Е (рис. 7, б), получим статически определимую шарнирную балку, ибо каждый такой промежуточный шарнир к трем основным уравнениям статики прибавляет одно дополнительное уравнение: сумма моментов относительно центра шарнира от всех сил, расположен­ных по одну сторону от него, равна нулю.

Построение эпюр для статически неопределимых балок требует умения вычислять деформации, а поэтому ограничимся пока исклю­чительно статически определимыми балками.

Способы определения опорных реакций изучают в курсе теоре­тической механики. Поэтому здесь остановимся только на некоторых практических вопросах. Для этого рассмотрим простую балку (рис. 6, а).

1. Опоры обычно обозначают буквами А и В. Три неизвестные реакции находят из следующих уравнений равновесия:

а) сумма проекций всех сил на ось балки равна нулю: откуда находят

б) сумма моментов всех сил относительно опорного шарнира А равна нулю: откуда находят .

в) сумма моментов всех сил относительно опорного шарнира В равна нулю:

откуда находят .

2. Для контроля можно использовать или условие равенства нулю суммы проекций на вертикаль:

или условие равенства нулю суммы моментов относительно какой-либо точки С, отличной от А и В, т. е.

У

Условием пользоваться проще, но оно дает надежную про­верку только в тех случаях, когда к балке не приложены сосредо­точенные моменты.

3. Перед составлением уравнений равновесия нужно выбрать (вообще говоря, произвольно) направления реакций и изобразить их на рисунке. Если в результате вычислений какая-либо реакция получается отрицательной, нужно изменить на рисунке ее направ­ление на обратное и в дальнейшем считать эту реакцию положи­тельной,

5. Если на балку действует распре деленная нагрузка, то для определения реакций ее заменяют равнодействующей, которая равна площади эпюры нагрузки и приложена в центре тя­жести этой эпюры.

Пример 5. Вычислить опорные реакции для балки, показанной на рис. 8.

Прежде всего находим равнодействующие Р₁ и Р₂ нагрузок, распределенных на участках АС н СВ:

; .

Сила Р₁ приложена в центре тяжести прямоугольника, а Р₂ — в центре тяжести треугольника. Находим реакции:

Рис 8

Проверка:

Дата добавления: 2015-07-07