Задания командной олимпиады

Задания командной олимпиады

V Областного студенческого турнира по математике

март 2010 г.

1. Какое из двух чисел больше: или ?

2. Дрожжевые грибки при благоприятных условиях размножаются с большой скоростью, увеличиваясь в объеме в 2 раза за каждую минуту. В колбу поместили 1 гриб, который заполнил ее за 30 минут. За сколько минут заполнят колбу помещенные в нее два гриба?

3. Найдите , считая известными .

4. В книгах новгородских писцов XV в. упоминаются такие меры жидкостей: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало известно, что одна бочка и 20 ведер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, одна насадка и 15,5 ведра уравниваются с 20 бочками и 8 ведрами. Определить на основании этих данных, сколько насадок содержится в бочке.

5. Задача Софи Жермен. Доказать, что каждое число вида есть составное, где .

6. На окружности отмечено десять точек. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся девятизвенных ломаных с вершинами в этих точках.

7. Пусть А, B, C, D – произвольные точки плоскости. Докажите, что .

8. Решите неравенство: .

9. Имеется три карточки. На одной с обеих сторон нарисована буква А, на другой – В. На третьей карточке с одной стороны А, а с другой – В. Одна из карточек выбирается наугад и кладется на стол. Предположим, что на видимой стороне оказывается буква А. Какова вероятность, что на другой стороне карточки тоже будет А?

10. Найти самую высокую и самую низкую точки кривой .

11. Функция задана с помощью уравнения . Найти .

12. Существует ли тетраэдр, все грани которого равнобедренные треугольники, причем никакие два из них не равны?

Дата добавления: 2015-11-05