Методические указания и варианты для типового расчета по теме:
«Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования».
Контрольные вопросы:
1. Какая функция называется первообразной для функции f(x)?
2. Дайте определение неопределенного интеграла?
3. Объясните геометрический смысл неопределенного интеграла.
4. Каким образом составляется таблица основных интегралов?
5. Перечислите свойства неопределенного интеграла.
6. Как проверит правильность интегрирования?
7. В каком случае применяют метод замены в неопределенном интеграле?
8. В каком случае для вычисления интеграла удобно применять формулу интегрирования по частям? Запишите ее.
9. Как интегрировать дроби, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе (см. с.10)?
10. Как преобразовать неправильную рациональную дробь?
11. Как интегрировать тригонометрические выражения?
12. Как интегрировать иррациональные выражения?
Разберем решение типовых заданий для одного варианта:
1) Найдите интеграл 
.
Упростим подынтегральную функцию. Разделив почленно числитель на знаменатель, разобьем интеграл на два табличных.
.
2) Найдите интеграл 
.
Воспользуемся формулой 
. Тогда,
.
3) Найдите интеграл 
.
Заметим, что производная знаменателя 
.
Воспользуемся формулой 
. Тогда,
.
4) Найдите интеграл 
.
Заметим, что производная знаменателя 
.
Воспользуемся формулой 
. Тогда,
.
5) Найдите интеграл 
.
Заметим, что 
. Тогда, выполним замену и получим табличный интеграл:
.
6) Найдите интеграл 
.
Для нахождения подобных интегралов используется формула интегрирования по частям: 
.
.
7) Найдите интеграл 
.
Выделим полный квадрат в знаменателе:
Заменим 
новой переменной.
.
8) Найдите интеграл 
.
Выделим полный квадрат в знаменателе:
Заменим 
новой переменной.
Разделим почленно числитель на знаменатель.
Рассмотрим первый интеграл: 
(см. пример 4), тогда 
.
9) Найдите интеграл 
.
Дробь 
правильная (степень числителя меньше степени знаменателя), её разложение в сумму простейших дробей имеет вид
.
Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (пользуясь тождественным равенством числителей), получаем
,
Следовательно,
10) Найдите интеграл 
.
.
Дробь 
неправильная (степень числителя больше степени знаменателя), поэтому сначала выделим целую часть этой дроби, разделив числитель на знаменатель «уголком».
- 
- 
Таким образом,
.
Дробь 
правильная (степень числителя меньше степени знаменателя), её разложение в сумму простейших дробей имеет вид
.
Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (пользуясь тождественным равенством числителей), получаем
,
Тогда, 
и
.
11) Найдите интеграл 
.
Интеграл вида 
, где хотя бы m или n-нечетное положительное целое число, можно вычислить, отделив от нечетной степени одну.
.
12) Найдите интеграл 
.
Интеграл вида , где m и n-четные неотрицательные числа, можно найти, применив формулы понижения степени:
.
13) Найдите интеграл 
.
Для интегрирования произведений синусов и косинусов различных аргументов применяются формулы:
.
14) Найдите интеграл 
.
Интегралы вида 
, в которых подынтегральная функция является рациональной функцией как от sinx, так и от cosx одновременно, решаются с помощью замены:
.
15) Найдите интеграл 
.
.
16) Найдите интеграл 
.
.
Вариант 1.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 2.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 3.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 4.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 5.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 6.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 7.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 8.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11.
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 9.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 10.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 11.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 12.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 13.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 14.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 15.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 16.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 17.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 18.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 19.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 20.
1.
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 21.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 22.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12.
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 23.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 24.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 25.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 26.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 27.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12.
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 28.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 29.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 30.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 14 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| (Личная запись преображения сознания) 20 страница | | | Tolle neue Lesetipps kostenlos per E-Mail! 1 страница |