У цій книзі зібрані лекції, що читалися автором протягом ряду років по курсу основ квантової електроніки для студентів Московського фізико-технічного інституту. 20 страница

а)вірогідність багатофононої переходу не залежить від характеристик початкового і кінцевого електронних станів домішкового центру;

б)вірогідність переходу з випусканням р фононів значно менша, ніж з випусканням р - 1 фононів:

(21.3)

в) мала величина е є характеристикою основи (а не
домішкового центру) і не залежить від р;

г) без випромінюючі перехід здійснюється з випусканням
фононів однакової частоти, так що закон збереження енергії
виконується у вигляді

(21.4)

Наслідком цих припущень є висновок про те, що в процесі багатофононного переходу беруть участь найенергійніші, тобто найбільш високочастотні фонони коливального спектру основи. В рамках вказаних припущення вдається отримати просту формулу, що дає залежність вірогідності багатофононного переходу від температури основи Т і енергетичного зазору в спектрі активної домішки Е у вигляді

(21.5)

де

(21.6)

дає температурну залежність швидкості без випромінювальних переходів з випусканням р-1 фононів, а

(21.7)

рівна при нульовій температурі, дає залежність даній вірогідності від величини енергетичної щілини Е. Тут і — феноменологічні константи, що характеризують основу. Як правило, реальна ситуація якісно добре описується в рамках викладеної моделі, хоча спроби отримання кількісної інформації про число і енергії фононів, що беруть участь в процесі релаксації, на основі цієї моделі неспроможні.

Розглянемо спочатку температурну залежність релаксації (21.6).

За наявності деякої надмірної енергії вірогідність випускання фонона частоти пропорційна числу фононів , наявних у фононной моді частоти з (индуцированне-испускание), плюс один (спонтанне випускання):

Заселена фононной моди при температурі Т дається розподілом Бозе — Ейнштейна

(21.8)'

Оскільки в даній моделі в одиничному акті релаксації передбачається випускання р однакових фононів, то вірогідність всього процесу в цілому пропорційна , що і дає формулу (21.6). Підкреслимо ще раз, що при Т 0 а .

Слабким місцем висловлюваної моделі багатофононої без випромінювальної релаксації є припущення одно частотності (21.4). Насправді енергетична щілина Е перекривається набором багатьох фононів з різними частотами і різним ступенем багатофононості відповідно до особливостей умов збудження коливань в тій або іншій конкретній основі. Істотну роль тут грає спектр можливих коливань, інформацію про яке дає, наприклад _ комбінаційне розсіяння світла.

Спектри комбінаційного розсіяння (рамановскі спектри) кристалів і стекол демонструють істотні відмінності в структурі і протяжності фононних спектрів цих матеріалів. У кристалів зазвичай межа високочастотних коливань розташована нижче, ніж у стекол. Енергія самих високочастотних фононів, як правило, перевищує енергію дебаєвських фононів (температура Дебая Т_D для лазерних матеріалів лежить в околиці 300 K).

Строгого теоретичного обґрунтування формул (21.5) — (21.7) не існує. Тому велике значення має експеримент. Звичайне експериментальне дослідження проводиться шляхом спостереження кінетики люмінесценції при селективному збудженні вибраного стану домішкового іона ТК3+, введеного в матрицю, фононный спектр якої повинен бути відомий. Оскільки спектр станів іонів TR³⁺ від основи до основи змінюється слабо, то експерименти цього роду, що проводяться в різних матрицях з різними станами різних іонів, дозволяють провести ретельне параметричне дослідження залежності швидкості релаксації домішкового центру від Е, .

Виявилось, що, хоча різні фонони можуть вносити внесок до вірогідності без випромінювального переходу, для різних іонів і в різних матрицях спостерігається прекрасна відповідність швидкості релаксації значенню високочастотної межі коливань. Ця відповідність існує не тільки для абсолютного значення швидкості релаксації, визначуваного ступенем багатофононості (де під ш треба розуміти частоту, відповідну високочастотній межі коливань), але і для її температурної залежності, визначуваної відношенням і значенням р.

Звернемося тепер до енергетичної залежності (21.7). У експериментах вказаного вище типа показано, що в широкому інтервалі значень енергетичної щілини Е (від 1000 до 5000 см^-1) залежності швидкості

Мал. 21.1. Залежності вірогідності багатофононої релаксації іонів TR³⁺ від частоти в склі: 1 — теллуритном, 2— германатом, 3 — силікатною, 4 — фосфатною, 5 — боратном.

Мал. 21.2. Рамонівські спектри скла: 1 — телуритного, 2 — германатно-го, 3 — силікатного, 4 — фосфатного, 5 — боратного.

багатофононої релаксації від Е із задовільним ступенем точності дійсно є експоненціальними. Абсолютні значення швидкості визначаються основою і не залежать від конкретних електронних станів TR³⁺-иона, між якими вимірюється Е. Для ілюстрації на мал. 21.1 приведені залежності вірогідності багатофононої релаксації іонів Nd³⁺, Ег³⁺ і Tm³⁺ в теллуритном, германатному, силікатному, фосфатному і боратном стеклах від величини енергетичного зазору, що розділяє порушуваний рівень і найближчий до нього нижній. На мал. 21.2 приведені рамонівські спектри, що характеризують про- тяжності фононного спектру в тих же стеклах. Легко простежується зв'язок між графіками мал. 21.2 і 21.1. Видно, що абсолютне значення вірогідності багатофононої релаксації;володіючим найменшими в теллуритном склі, що володіє найменше протяжним коливальним спектром. Збільшення просоченої фононного спектру веде до збільшення швидкості багатофононої релаксації в зв'язку, як це витікає з сенсу розглядаємої моделі, із зниженням ступеня багатофононої р.

Температурна залежна частина W_T(р) при > 1 слабо залежить від р. Сильна залежність від р, що задовольняє припущенню (21.3), обумовлена тим, що входить в (21.7) константа C^(p) підкоряється нерівності . Зазвичай 0,01—0,03, як це можна визначити з експериментальних кривих, подібних приведеним на мал. 21.1.

В цілому слід укласти, що формули (21.5) — (21.7) правильно відображають характер внутрішньо центровою без випромінювальної електрон-фононної релаксації домішкових TR³⁺- іонів в діелектричних кристалах і склі.

Звернемося тепер до важливих висновків, які виходять з викладеного вище за механізм внутрішньо центрової релаксації, формул (21.5) - (21.7) і мал. 21.1, 21.2.

Обговоримо перш за все питання про максимально можливу довжину хвилі випромінювання лазера на твердому тілі. Для ефективного створення інверсії необхідно, щоб швидкість без випромінювальної релаксації верхнього лазерного рівня не перевищувала швидкість його радіаційного розпаду (див. лекцію дев'ятнадцяту). Відомо, що характерний радіаційний час життя верхнього лазерного рівня ТR³⁺-іонів складає приблизно 1 мс. Тоді з мал. 21.1 видно неможливість створення лазера з довжиною хвилі більше 2—2,5 мкм на широко вживаних в даний час фосфатних і силікатних стеклах, оскільки при енергетичних зазорах менше 4000—5000 см^-1 швидкість без випромінювальної релаксації в цих матрицях починає перевищувати швидкість радіаційного розпаду відповідного верхнього рівня. Разом з тим на кристалах, що володіють в порівнянні із стеклами, як правило, менш протяжним фононним спектром, можлива генерація і більш довгохвильового випромінювання. Прикладом може служити генерація на переходи іона Ег^3+, отримана в області 3 мкм у ряді кристалів (CaF₂,LiYF₄,Y₃Al₅O₁₂). Проте просування в область довжин хвиль, що перевищують 4 мкм, мало ймовірно.

Розглянемо з погляду обговорюваного процесу багатофононої релаксації схему рівнів іона неодима (см, мал. 20.3).

Верхній лазерний рівень ⁴F_3/2 іона Nd³⁺ відокремлений від найближчого до нього знизу стану ⁴I_15/2 енергетичним зазором 6000 см^-1. Відповідно до даними мал. 21.1 час багатофононої релаксації виявляється для стану ⁴F_3/2 істотно його радіаційного часу життя. В результаті квантовий вихід люмінесценції верхнього лазерного рівня (у відсутність концентраційного гасіння) близький до 100%.

Фінішний лазерний рівень іона неодима ⁴F_3/2 лежить вище за основний стан на 2000 см^-1. Такий зазор у фосфатному і силікатному стеклах забезпечує час життя рівня близько 1 нс. Отже, режим самообмеження генерації (див. лекцію чотирнадцяту) не повинен відбуватися при тривалості імпульсів, що перевищує 1 нс.

Енергетичний зазор між верхнім лазерним рівнем неодима Р_3/2 і основними смугами накачування також не перевищує 2000 см^-1. Отже, час без випромінюючої релаксації з цих смуг в метастабільний стан ⁴F_3/2 лежить в діапазоні 1—10 нc при власному часі життя цього рівня 0,1— 1 нс. В результаті вся енергія збудження накопичується в метастабільному стані неодима. Всі ці висновки повністю експериментально підтверджені і складають фізичне обґрунтування широкого використання іона Nd³⁺ як активного центру в лазерних кристалах і стеклах. Звернемося тепер до вже згаданого прикладу лазера на переході іона Ег³⁺. Спрощена схема рівнів приведена на мал. 21.3 разом з показаною для порівняння схемою рівнів іона неодима. Зазор між фінішним лазерним рівнем ⁴I_13/2 і основним станом ⁴I_15/2 складає близько 6000 см^-1, енергії лазерного переходу ⁴I_11/2->⁴I_13/2 знаходиться в області 3500 см^-1. Ступінь багатофононості безвипромінювальної релаксації по переходах ⁴I_11/2->⁴I_13/2 і ⁴I_13/2->⁴I_15/2 істотно різна. Через це час життя стартового лазерного рівня ⁴I_11/2 багато менше, ніж фінішного рівня ⁴I_13/2, і лазер працює в режимі самообмеження, на відміну від розглянутого вище неодимового лазера. Смуги поглинання випромінювання накачування лежать для ербієвого лазера в області 15 000—25 000 см^-1. Безвипромінюючі переходи через досить значний, на відміну від неодима, енергетичний зазор між смугами накачування і стартовим лазерним рівнем ⁴I_11/2 істотно полегшені наявністю в цьому зазорі багатьох рівнів, що розбивають зазор па області з малим ступенем багатофононості. Приведені приклади показують, як виявляються характерні риси внутрішньо центровими без випромінюючої електрон - фононної релаксації домішкових Tr³⁺-ионов в діелектричних кристалах і склі в лазерних властивостях відповідних активних середовищ.

Розглянемо тепер іон-іоннову взаємодію. Інтерес до процесів перенесення енергії між різними домішковими центрами обумовлений поряд обставин. По-перше, із збільшенням концентрації домішкових іонів, що завжди бажано з метою підвищення коефіцієнта посилення і питомого енергознімання активного середовища, зростає роль процесів перенесення енергії в механізмах релаксації енергії, що стають колективними. Це, у свою чергу, може визначати гранично можливі концентрації домішок в лазерних кристалах і стеклах. По-друге, контрольоване введення в матрицю додаткових домішок може в процесі послідовних актів перенесення енергії і релаксації прискорювати передачу енергії із смуг поглинання на метастабільні стани верхніх лазерних рівнів робочих домішкових центрів і (або) прискорювати розпад їх нижніх лазерних рівнів. По-третє, присутність в матриці додаткових поглинаючих іонів, здатних ефективно передавати отриману енергію робочим іонам, істотно підвищує енергетичну ефективність активних середовищ.

Вірогідність без випромінювальної перенесення енергії від донора Ш) до акцептора (А), тобто вірогідність процесу типу

(21.9)

при якому збуджений донор повертається в основний стан, а не збуджений акцептор переходить в збуджений стан, при диполь-дипольній взаємодії частинок D і A, що знаходяться на відстані R один від одного в середовищі з показником заломлення п, може бути отримана методами квантової механіки в першому порядку теорії обурень. Проте можливі н класична інтерпретація явища перенесення, і класичне виведення відповідного виразу.

В рамках уявлення про класичний осцилюючий електричний диполь, що вже неодноразово використався в цих лекціях, розглянемо два дипольні електронні осцилятори, що впливають один на одного своїми електромагнітними полями. Система рівнянь зв'язаних осциляторів добре відома:

(21.10)

Хай перший осцилятор відповідає частинці D, другою — A.
Хай також частоти і суть величини одного порядку,
а зв'язок між осциляторами малий. Найбільший
інтерес представляє той випадок, коли збуджений стан
частинки А швидко релаксується. Це означає, що зворотна передача не має місця. У класичній моделі цієї ситуації відповідає істотно більше загасання другого осцил-
лятора () - Рішення системи (21.10) показує тоді, що відповідно до звичайних положень теорії коливань наявність зв'язку між осциляторами збільшує загасання високо добротного осцилятора.

Зупинимося декілька докладніше на системі рівнянь (21.10), добре вивченій в теорії коливань. Рішення цієї системи було дане В. Вином ще в кінці минулого століття і привело до таких важливих понять, як власні (нормальні) частоти коливань, що відрізняються від парціальних частот в зв'язаних системах з багатьма коливальними мірами свободи. Відносні амплітуди коливань на власних частотах першого і другого осциляторів системи (21.10) і перекачка енергії з осцилятора в осцилятор визначаються не тільки величиною зв'язків осциляторів , але і їх зв’язком залежать від близькості парціальних

Мал. 21.4. Індуктивно що зв'язані коливають контури.

частот. Поняття зв'язаності осциляторів було введене
Л. И. Мандельштамом при створенні загальної теорії коливань.

Повне рішення системи (21.10) зводиться до рішення рівнянь
четвертого порядку і погано осяжно. Проте в наближенні малого зв'язку і малої зв'язаності систему (21.10) легко вирішити за допомогою еквівалентної схеми, представленої на мал. 21.4, рівнянням Кіргофа якій для гармонійних струмів частоти і амплітуд і

(21.11) ^:

відповідають диференціальні рівняння

(21.12)

Тут М — взаємна індуктивність, — заряди па конденсаторах С₁ і С₂, а решта позначень ясна з мал. 21.4 (див. також формули (6.48) — (6.56) і мал. 6.2).

З (21.11) легко отримати вираз для ефективного активного опору R_ефф деякого ефективного одиночного контура, утвореного системою два індуктивно зв'язаних.RLC-контурів:

(21.13)

Тоді, вважаючи зв'язаність контурів малою і припускаючи тим самим наявність в першому осциляторі тільки одного гармонійного коливання, ми можемо співвідношенням ввести ефективне загасання першого контура за наявності зв'язку з другим контуром по аналогії з парціальними коефіцієнтами загасання і відповідних контурів:

(21.14)

У схемі на рис. 21.4 коефіцієнти зв'язку другого контура з першим і першого з другим складають відповідно і Рівняння (21.10) і (21.12) відрізняються один від одного видом зв'язку — по координаті і її другій похідній відповідно. Ці зв'язки еквівалентні один одному, якщо . Для гармонійного коливання , отримуємо тоді умову еквівалентності

Мал. 21.5. До визначення сили електростатичної взаємодії між двома диполями.

, що дає . Враховуючи близькість до і вважаючи малою різницю , ми отримуємо з (21.14) після тривіальної заміни виразу

(21.15)

Розглянемо тепер коефіцієнт зв'язку . Енергію електростатичної взаємодії двох диполів, що знаходяться на відстані R один від одного, легко визначити за допомогою мал. 21.5. Дипольний моменти диполів 1 і 2 рівні відповідно і , де безрозмірні множники f₁ і f₂, звані силами осциляторів, характеризують ефективність поляризація осциляторів, утворених оптичним електроном (заряд –е) і іонним остовом (заряд +е), рознесеними на відстані x₁ і х₂ відповідно. Тоді в середовищі з діелектричною проникністю е енергія взаємодії диполів рівна

(21.16)

і при з точністю до члена порядку складає

(21.17) 227

Отже, сила, що діє з боку другого осцилятора на перший, рівна

а з боку першого на другій

Оскільки в праву частину рівнянь осцилятора у формі (21.10) повинні входити сили і (де — маса електрона), що вимушують, то очевидно, що

(21.18)

Підкреслимо, що для осцилюючих диполів виконане вище обчислення справедливе в ближній зоні (при , де — довжина хвилі випромінювання частоти з в даному середовищі).

Сила осцилятора f у класичній теорії дисперсії розуміється як частка елементарних осциляторів, що беруть участь в макроскопічній поляризованості середовища на частоті . При квантово механічному розгляді сили осциляторів визначають не як число електронів деякого типу, а як число віртуальних осциляторів, що належать електрону, що характеризує ефективність утворення диполя, так би мовити, ступінь «дипольності» системи оптичний електрон — іонний остов, на даній частоті. Квантова механіка дозволяє обчислити силу осцилятора заданої електронної системи, яка виявляється рівною

(21.19)

де А_к — коефіцієнт Ейнштейна для спонтанного переходу на частоті . Тоді в нашому випадку

(21.20)

і ми отримуємо

(21.21)

де

Величина 2у в рівняннях (21.10) має сенс швидкості релаксації інтенсивності коливань осцилятора. Отже, величина , що описує адитивне збільшення швидкості ре-

лаксації одного осцилятора за рахунок втрат енергії в іншому осциляторі, пов'язаному з першим, має сенс вірогідності перенесення енергії від донора до акцептора:

(2.1.22)

Формула (21.22) для отримана для осциляторів, що знаходяться на фіксованих частотах і . Але в межах спектральних ліній донора і акцептора частот багато. Природно вважати, що формфактори лінії і дають розподіл осциляторів по частотах, або, інакше кажучи, вірогідність знайти осцилятор D або A на тій або іншій частоті. Тоді вірогідність одночасного знаходження донора на частоті і акцептора на частоті ю є твір . Вірогідність здійснення перенесення енергії між ними складає і визначається як значеннями парціальних частот донора і акцептора, так і розладом між ними. Отже, повна вірогідність перенесення енергії в процесі дається інтегралом по всіх частотах і всім значенням розладу :

(21.23)

Оскільки резонансна крива лінії поглинання (випромінювання) акцептора значно ширша за резонансний множник в , то для всіх значень відбудов можна вважати, що

Тоді твір у інтеграції по не бере участь, і ми, використовуючи рівність

отримуємо остаточно, що

(21.24)

Дата добавления: 2015-11-04