Городская (районная) олимпиада по математике

Городская (районная) олимпиада по математике

2009 год

10 класс (Решение)

1. Пусть , , – целые коэффициенты. Если дискриминант равен 27: => . Правая часть равенства – чётное число, но не делится на 4. Левая часть – или нечётное число, или чётное и делится на 4. Так что Васе надо поставить двойку.

2. Ответ: , . Четвертая сумма 33 при делении на 5 дает остаток 3, следовательно, все остальные суммы будут также давать остаток 3 при делении на 5. Докажем, что квадрат натурального числа при делении на 5 дает лишь остатки 0, 1, 4. Действительно все натуральные числа представимы в виде , , , , . Возводим каждое в квадрат и проверяем остатки при делении на 5: получим остатки 0, 1, 4, 4, 1.

3. Т.к. равнобедренный получаем

.

С другой стороны, поскольку треугольник равнобедренный (НМ –медиана, проведенная к гипотенузе), . Значит, , и поэтому точки , , и лежат на одной окружности. Отсюда следует, что .

4. Обозначим оставшиеся на доске числа: . Рассмотрим две строго возрастающие последовательности чисел в промежутке от 1 до 2000:

(1)

(2) .

В обеих последовательностях содержится 1001 + 1001 = 2002 числа. Эти числа не могут быть все различными, так как в промежутке от 1 до 2000 всего имеется 2000 различных чисел. Следовательно, существует пара равных чисел, по одному из каждой последовательности: . Таким образом, среди чисел на доске имеются три числа , и такие, что .С другой стороны, если первоначально стереть 999 наименьших чисел, то среди оставшихся 1001 чисел сумма двух наименьших 1000 + 1001 = 2001 уже превышает наибольшее число на доске.

5. Если имеется различных чисел, то различных отношений не больше . Причём равенство достигается, например, для различных простых чисел. Соответственно . Минимальное натуральное значение, удовлетворяющее неравенству . Тогда можно расставить номера этих чисел по формуле на -ом месте , где –остаток от деления произведения на 46, – -ое простое число.

Дата добавления: 2015-11-04