is just as simple: Since так же просто: с
a
p р
1 1
+ ··· + a + · · · +
p р
n п
≤ n(max(a ≤ п (максимальная (
1 1
,...,a,...,
n п
))))
p р
≤ n(a ≤ п (
1 1
+ ··· + a + · · · +
n п
))
p р
,,
we obtain the “≫” portion of the estimate with constant 1/n. получаем "» "части оценки с постоянным 1 / л.
This example is a good illustration of the benefits of the “ ” nota- Этот пример является хорошей иллюстрацией преимуществ "," НОТА-
tion. ния. With this notation, the asserted two-sided estimate we claimed takes В этих обозначениях, утверждал двустороннюю оценку мы утверждали, принимает
a concise, and suggestive, one-line form, whereas the same estimate in the кратким, и наводящий, одна линия форме, в то время как такую же оценку в
O-notation would have required two somewhat clumsy looking O-relations. O-обозначений потребовалось бы два несколько неуклюжей ищет O-отношений.
Example 2.11. Пример 2.11. We have У нас есть
√ √
log y У входа
√ √
log x (x Журнал х (х
1/2 1/2
≤ y ≤ x ≤ у ≤ х
2 2
,x ≥ 1)., Х ≥ 1).
Proof. Доказательство. This follows immediately on noting that the function f(y) = Это сразу следует отметить, что в функции F (Y) =
√ √
log y У входа
is increasing and satisfies возрастает и удовлетворяет
f(x F (X
1/2 1/2
) =) =
√ √
log x войти х
1/2 1/2
= 2 = 2
−1/2 -1 / 2
√ √
log x = 2 войти х = 2
−1/2 -1 / 2
f(x) (x ≥ 1). F (х) (х ≥ 1).
and, similarly, f(x и, аналогично, F (X
2 2
) = 2) = 2
1/2 1/2
f(x). F (X).
Example 2.12. Пример 2.12. If f(x) and g(x) are positive functions, then Если F (х) и д (х) положительные функции, то
f(x) F (X)
g(x) г (х)
holds if and only if имеет место тогда и только тогда, когда
log f(x) = log g(x) + O(1). войти F (X) = Журнал д (х) + O (1).
This follows immediately from the explicit version (2.1) of the relation “ ”. Это непосредственно вытекает из явного версия (2,1) отношения "".
Asymptotic Analysis Асимптотический анализ
2.9.2009 2.9.2009
Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009
Page 10 Page 10 |
18 18
CHAPTER 2. ГЛАВА 2. ASYMPTOTIC NOTATIONS Асимптотические ОБОЗНАЧЕНИЯ
2.1.6 Other variants of the O-notation 2.1.6 Другие варианты O-обозначений
Some other notations that are equivalent to or related to the O-notation Некоторые другие обозначения, которые эквивалентны или связанные с O-обозначений
and which are occasionally used are the following. и которые иногда используются, являются следующие. All of these notations are Все эти обозначения являются
non-standard and do not have a generally accepted meaning, so they should нестандартное и не имеют общепринятого значения, поэтому они должны
be avoided, or at least precisely defined before use. можно избежать или, по крайней мере точно определены до использования.
• In some areas of analysis (especially harmonic analysis), the symbol • В некоторых областях анализа (особенно гармонического анализа), символ
“≲” is used with the same meaning as “≪”. "≲" используется в том же значении, как ««».
• The symbol “⋘” is sometimes used to indicate that one function is • Символ "⋘" иногда используется, чтобы указать, что одна функция
“of smaller order of magnitude” than another function, usually in the "Меньшего порядка", чем другая функция, как правило, в
sense that the ratio between the two functions tends to 0 (ie, the смысле, что отношение между этими двумя функциями стремится к 0 (т. е.
equivalent of the o-notation defined below). эквивалентные о-обозначение определено ниже). In their book “Concrete В своей книге "Бетон
Mathematics”, Graham, Knuth, and Patashnik use the symbol “≺” in Математика ", Graham, Кнут, и Patashnik использовать символ" ≺ "в
the same sense. том же смысле. However, neither of these notation is very widespread. Тем не менее, ни одна из этих обозначений является очень распространенной.
• In numerical applications the value of an O-constant is important. • В приложениях численного значения О-постоянные имеет важное значение. One Один
notation that refines the O-notation by keeping track of constants is обозначений, уточняет O-обозначений, отслеживая констант
the θ-notation, which means the same as the O-notation with constant θ-нотацию, которая означает то же, O-обозначений с постоянным
c = 1. с = 1. For example, since |log(1+z)| ≤ ∑ Например, с | Журнал (1 + г) | ≤ Σ
∞ ∞
n=1 п = 1
|z| | Г |
n п
/n ≤ |z|/(1−|z|) ≤ / П ≤ | z | / (1 - | z |) ≤
2|z| for |z| ≤ 1/2, we have, using the θ-notation, log(1 + z) = θ(2|z|) 2 | z | при | г | ≤ 1/2, имеем, используя θ-нотации, войти (1 + г) = θ (2 | г |)
for |z| ≤ 1/2. при | г | ≤ 1/2.
• The symbol “≈” is sometimes used with the same meaning as. • Символ "≈" иногда используется в том же значении, как.
However, more commonly, this symbol is used in an informal manner Однако, чаще всего, этот символ используется в неформальной обстановке
(eg, in heuristic arguments) to indicate that one quantity is “approx- (Например, в эвристических аргументов), чтобы указать, что одна величина "ок-
imately” equal to another quantity. мерно "равна другой величины.
2.1.7 The “small oh” notation and asymptotic equivalence 2.1.7 «малых ой" обозначения и асимптотической эквивалентности
The notation Обозначение
f(x) = o(g(x)) (x → ∞) F (X) = о (г (х)) (х → ∞)
means that g(x) = 0 for sufficiently large x and lim означает, что г (х) = 0 при достаточно больших х и Нт
x→∞ х → ∞
f(x)/g(x) = 0. F (X) / г (х) = 0.
If this holds, we say that f(x) is of smaller order than g(x). Если это имеет место, скажем, что F (X) имеет меньший порядок, чем г (х). This Это
is equivalent to having an O-estimate f(x) = O(g(x)) with a constant c эквивалентно тому, что O-оценку F (X) = O (г (х)) с постоянной с,
that can be chosen arbitrarily small (but positive) and a range x ≥ x, которая может быть выбрана сколь угодно малой (но положительной), а также ряд х ≥ х
0 0
(c) (С)
depending on c. в зависимости от с. Thus, an o-estimate is stronger than the corresponding Таким образом, о-оценку сильнее, чем соответствующая
O-estimate. O-оценки.
A closely related notation is that of asymptotic equivalence: Тесно связаны обозначения, что асимптотической эквивалентности:
f(x) ∼ g(x) (x → ∞) (х) д (х) (х → ∞)
Asymptotic Analysis Асимптотический анализ
2.9.2009 2.9.2009
Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009
Page 11 Page 11 |
2.1. 2.1. THE “OH” NOTATIONS "OH" ОБОЗНАЧЕНИЯ
19 19
means that g(x) = 0 for sufficiently large x and lim означает, что г (х) = 0 при достаточно больших х и Нт
x→∞ х → ∞
f(x)/g(x) = 1. F (X) / г (х) = 1. If Если
this holds, we say that f(x) is asymptotic (or “asymptotically equiva- это верно, мы говорим, что F (X) является асимптотическим (или «асимптотически эквивалент-
lent”) to g(x) as x → ∞. Пост "), чтобы г (х) при х → ∞. Just as an o-estimate refines the O-estimate, the Так же, как о-оценка уточняет O-оценки,
asymptotic equivalence relation f(x) ∼ g(x) refines the order of magnitude асимптотической эквивалентности е соотношение (х) д (х) уточняет порядок
estimate f(x) Оценка F (X)
g(x). г (х).
By an asymptotic formula for a function f(x) we mean a relation of По асимптотической формулы для функции F (X) мы имеем в виду отношения
the form f(x) ∼ g(x), where g(x) is a “simple” function. Форма F (х) д (х), где г (х) является «простой» функции.
In much the same way as the O-notation, the o-notation can be general- Во многом таким же образом, как и O-обозначений, O-обозначений может быть общего
ized to functions for complex variables, and to more general limits: If f(s) зуется к функциям комплексных переменных, а также более общие ограничения: если F (S)
and g(s) are functions of a real or complex variable s and s и G (S) являются функциями от действительного и комплексного переменного с и с
0 0
is a real or является реальным или
complex number or infinity, we write комплексное число или бесконечность, мы пишем
f(s) = o(g(s)) (s → s F (S) = O (G (S)) (S → S
0 0
),)
if the limit lim если существует предел
s→s S → S
0 0
f(s)/g(s) exists and is equal to 0, Asymptotic formulas F (S) / G (S) существует и равна 0, Асимптотические формулы
with respect to the limit s → s по отношению к пределу → S S
0 0
are defined analogously. Аналогично определяются.
It is important to keep in mind that the o-notation is always with respect Это важно иметь в виду, что о-обозначение всегда с уважением
to a given limiting process. для данного предельного процесса. If a limiting process is not explicitly given (in Если предельный процесс явно не дано (в
a form like “x → x Форма, как "X → X
0 0
”), the limit is usually understood to be taken as the»), Предел обычно понимается которые должны быть приняты в качестве
variable tends to infinity. переменная стремится к бесконечности.
In the same way as we have done with the O-notation, we allow o-terms Точно так же, как мы сделали с O-обозначений, мы позволяем о-терминов
to appear inside arithmetic expressions: a term o(g(x)) stands for a function появляться в арифметических выражениях: термин O (G (x)) обозначает функцию
f(x) that satisfies lim F (X), удовлетворяющую Ит
x→∞ х → ∞
f(x)/g(x) = 0 (but on which we have no further F (X) / г (х) = 0 (но по которым мы не имеем никакого дальнейшего
information). информации). With this convention the asymptotic formula f(x) ∼ g(x) is С этой конвенции асимптотической формулы F (х) д (х)
easily seen to be equivalent to either of the relations Легко видеть, что эквивалентно одному из отношений
f(x) = g(x) + o(g(x)) F (X) = д (х) + O (G (x))
or или
f(x) = g(x)(1 + o(1)). F (X) = д (х) (1 + о (1)).
Another related notation that is used, for example, in number theory, Другой связанный с обозначениями, которые используются, например, в теории чисел,
is the Ω-notation. является Ω-обозначение. This notation simply means the opposite of “small oh”: Эта запись означает просто противоположность «малых ой":
Namely, we write А именно, мы пишем
f(x) = Ω(g(x)) (x → ∞), F (X) = Ω (г (х)) (х → ∞),
if the relation f(x) = o(g(x)) is false, ie, if limsup если отношение F (X) = O (G (x)) является ложным, т. е. если Нтзир
x→∞ х → ∞
|f(x)/g(x)| > 0. | F (X) / г (х) |> 0.
Analogous definitions apply for the case of more general functions or limits. Аналогичные определения применяются в случае более общих функций и пределов.
For example, we have sinx = Ω(1) as x → ∞, and sinx = Ω(x) as x → 0. Например, у нас есть зт = Ω (1) при х → ∞, и зт = Ω (х) при х → 0.
Note that the relation f(x) = Ω(g(x)) is not equivalent to f(x) ≫ f(x). Отметим, что отношение F (X) = Ω (G (x)) не эквивалентно F (X)»F (X).
Indeed, the latter means that |f(x)| > c|g(x)| holds, with some positive Действительно, последнее означает, что | F (X) |> с | д (х) | имеет место, с некоторой положительной
constant c, for all sufficiently large x, whereas f(x) = Ω(g(x)) only requires константа с, для всех достаточно больших х, в то время как F (X) = Ω (г (х)) требуется только
this inequality to hold for arbitrarily large values of x. этого неравенства справедливы и для сколь угодно больших значений х.
Asymptotic Analysis Асимптотический анализ
2.9.2009 2.9.2009
Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009
Page 12 Page 12 |
20 20
CHAPTER 2. ГЛАВА 2. ASYMPTOTIC NOTATIONS Асимптотические ОБОЗНАЧЕНИЯ
2.1.8 O-estimates versus o-estimates 2.1.8 O-оценки по сравнению с о-оценки
An o-estimate is a qualitative, rather than quantitative, statement: f(x) = О-оценка является качественной, а не количественной, заявление: F (X) =
o(g(x)) simply means that the quotient f(x)/g(x) tends to 0 as x → ∞, о (г (х)) просто означает, что фактор F (X) / г (х) стремится к 0 при х → ∞,
but it says nothing about the rate of convergence. но это ничего не говорит о скорости сходимости. In almost all cases Почти во всех случаях
where o-estimates (or, equivalently, asymptotic formulas) are known, these где о-оценки (или, что эквивалентно, асимптотические формулы), как известно, эти
estimates arise as corollaries to more precise O-estimates: An O-estimate Оценки возникают как следствия более точную O-оценки: O-оценки
of the form f(x) = O(g(x)/ψ(x)) with some explicit function ψ(x) (such вида F (X) = O (г (х) / ψ (х)) с некоторой явной функции ψ (х) (такие
as ψ(x) = log x) that tends to infinity as x → ∞ implies the o-estimate как ψ (х) = Журнал х), стремится к бесконечности при х → ∞ следует, О-оценка
f(x) = o(g(x)) and provides more information. F (X) = о (г (х)) и предоставляет больше информации. The chief advantage of o- Главным преимуществом о-
estimates and asymptotic formulas is that they are easy to state and make оценки и асимптотические формулы является то, что они легко сформулировать и сделать
for clean and easy-to-remember theorems. для чистой и легко запоминающиеся теорем. However, in the course of proving Тем не менее, в ходе доказательства
such estimates, it is almost always advisable to carry the argument through такие оценки, то это почти всегда целесообразно проводить через аргумент
with O-estimates, and only at the very end, if necessary, make the transition с O-оценки, и только в самом конце, при необходимости, осуществить переход
to an o-estimate. на о-оценка. The main reason for this is that working with o-terms is Основной причиной этого является то, что работать с о-терминов
fraught with pitfalls, whereas O-terms can be manipulated fairly easily and чреват ловушек, в то время как O-терминов можно управлять довольно легко и
safely, as we will show below. безопасно, как мы покажем ниже.
2.1.9 An illustration: Estimates for the prime counting func- 2.1.9 иллюстрации: Оценки для подсчета премьер-функции
tion ния
To illustrate the various notations introduced here, we present a list of esti- Чтобы проиллюстрировать различные обозначения, введенные здесь, мы представляем список оце-
mates for the prime counting function π(x), the number of primes ≤ x, which помощники для простого подсчета функции π (х), количество простых чисел ≤ х,
have been proved over the past century or so, or put forth as conjectures. были доказаны в прошлом веке или так, или выдвинуть в качестве гипотезы.
Each of these estimates represented a major milestone in our understanding Каждая из этих оценок представляет собой важную веху в нашем понимании
of the behavior of π(x). поведение π (х).
Chebysheff's estimate: This estimate establishes the correct order of Оценки Чебышева: Это оценка устанавливает правильный порядок
magnitude of π(x): Величина π (х):
π(x) π (х)
x х
log x войти х
(x ≥ 2). (Х ≥ 2).
The Prime Number Theorem (PNT): In its simplest and most basic Теоремы о простых числах (ПНТ): В своих простейших и самых основных
form, the PNT gives an asymptotic formula for π(x): Форма, PNT дает асимптотическую формулу для π (х):
π(x) ∼ π (х) ~
x х
log x войти х
(x → ∞). (Х → ∞).
This result, arguably the most famous result in number theory, had been Этот результат, возможно, самый известный результат теории чисел, были
conjectured by Gauss, who, however, was unable to prove it. предположил Гаусс, который, однако, был не в состоянии доказать это. It was eventu- Это было eventu-
ally proved in the late 19th century, independently and at about the same союзника доказано в конце 19 века, независимо и примерно в то же
time, by Jacques Hadamard and Charles de la Vallee Poussin. Время, Жак Адамар и Шарля де ла Валле Пуссена.
Asymptotic Analysis Асимптотический анализ
2.9.2009 2.9.2009
Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009
Page 13 Page 13 |
2.1. 2.1. THE “OH” NOTATIONS "OH" ОБОЗНАЧЕНИЯ
21 21
PNT with modest error term: A more precise version of the above ПНТ со скромным термином ошибки: более точный вариант выше
form of the PNT shows that the relative error in the above asymptotic Форма PNT показывает, что относительная ошибка в приведенном выше асимптотические
formula is of order O(1/log x): Формула имеет порядок O (1/log х):
π(x) = π (х) =
x х
log x войти х
((
1 + O 1 + O
(1 (1
log x войти х
))))
(x ≥ 2). (Х ≥ 2).
This version, while far from the best-known version of the PNT, is sharp Эта версия, в то время недалеко от самой известной версией ПНТ, является резкое
enough for many applications. достаточно для многих приложений.
PNT with “classical” error term: To be able to state more precise ПНТ с "классическим" ошибка термин: Для того, чтобы более точного
versions of the PNT, the function x/log x as approximation to π(x) is too версии ПНТ, функция х / Журнал х как приближение к π (х) является слишком
crude; a better approximation is provided by the “logarithmic integral”, Сырой; лучшее приближение осуществляется "логарифмического интеграла",
Li(x) = Li (х) =
∫ ∫
x х
2 2
dt DT
log t войти т
(x ≥ 2). (Х ≥ 2).
With Li(x) as main term in the approximation to π(x), the relative error С Li (х) в качестве основного члена в приближении к π (х), относительная погрешность
in the approximation can be shown to be much smaller than any negative В приближении можно показать, что намного меньше, чем любой отрицательный
power of log x. Сила журнал х. Indeed, the analytic method introduced by Hadamard and Действительно, аналитический метод введен Адамара и
de la Vallee Poussin in their proof of the PNT yields the estimate Валле-Пуссена в доказательство PNT дает оценку
π(x) = Li(x) π (х) = Li (х)
((
1 + O 1 + O
((
exp(−c ехр (-с
√ √
log x) войти х)
))))
(x ≥ 3), (Х ≥ 3),
where c is a positive constant. где с положительной постоянной. This result, which is now more than 100 years Этот результат, который в настоящее время более 100 лет
old, can be considered the “classical” version of the PNT with error term. старый, можно считать «классической» версии ПНТ с ошибкой.
PNT with Vinogradov-Korobov error term: The only significant im- ПНТ с Виноградовым, Коробов ошибки термин: Единственное существенное IM-
provement in the error term for the PNT obtained during the past 100 years provement в ошибке термин для ПНТ, полученные в ходе последних 100 лет
is due to IM Vinogradov and A. Korobov, who improved the above classical связано с И. М. Виноградова и А. Коробов, который улучшил выше классические
estimate to оценить,
π(x) = Li(x) π (х) = Li (х)
((
1 + O 1 + O
ϵ ε
((
exp(−(log x) ехр (- (вход х)
3/5−ϵ 3/5-ε
))))
(x ≥ 3), (Х ≥ 3),
for any given ϵ > 0. для любого ε> 0. The Vinogradov-Korobov result is some 50 years old, Виноградова-Коробов результате около 50 лет,
but it still represents essentially the sharpest known form of the PNT. но он все еще представляет по существу острые известных форм ПНТ.
PNT with conjectured error term: A widely believed conjecture is ПНТ с ошибкой предположить термин: широко распространено мнение, гипотеза
that the “correct” relative error in the PNT should be about 1/ о том, что "правильные" относительная погрешность ПНТ должно быть около 1 /
√ √
x. х. More Больше
precisely, the conjecture states that Точнее, гипотеза гласит, что
π(x) = Li(x) π (х) = Li (х)
((
1 + O 1 + O
ϵ ε
((
x х
−1/2+ϵ -1 / 2 + ε
))))
(x ≥ 3) (Х ≥ 3)
Asymptotic Analysis Асимптотический анализ
2.9.2009 2.9.2009
Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009
Page 14 Page 14 |
22 22
CHAPTER 2. ГЛАВА 2. ASYMPTOTIC NOTATIONS Асимптотические ОБОЗНАЧЕНИЯ
holds for any given ϵ > 0. справедливо для любого ε> 0. This conjecture is known to be equivalent to the Эта гипотеза, как известно, эквивалентно
Riemann Hypothesis. Гипотеза Римана. It is interesting to compare the size of the (relative) Это интересно сравнить размеры (относительная)
error term in this conjectured form of the PNT with that in the sharpest остаточный член в этой предположил форме ПНТ с, что в острый
known form of the PNT, ie, the Vinogradov-Korobov estimate cited above: Известно форме PNT, т.е. Виноградова-Коробов оценка приведенных выше:
To this end, note that Для этого заметим, что
exp ехр
((
−(log x) - (Вход х)
3/5−ϵ 3/5-ε
))
≥ exp ≥ ехр
((
−(log x) - (Вход х)
3/5 3/5
))
≫»
ϵ ε
x х
−ϵ -Ε
(x ≥ 3) (Х ≥ 3)
for any ϵ > 0. для любого ε> 0. Thus, while the conjectured form of the PNT involves a Таким образом, если предположить форме PNT включает в себя
relative error of size O Относительная погрешность размера O
α α
(x (Х
−α -Α
) for any fixed exponent α < 1/2, our present) Для любого фиксированного показателя α <1/2, наше настоящее
knowledge does not even give such an estimate for some positive value of α. знание даже не дает такую оценку для некоторого положительного значения α.
Omega estimate: It is known that the relative error in the PNT cannot Omega оценить: Известно, что относительная погрешность ПНТ не может
be of order O(x быть порядка O (х
−α -Α
) with an exponent α > 1/2.) С показателем α> 1/2. Using the “Omega” notation Использование "Омега" обозначение
introduced above, this can be expressed as follows: For any α > 1/2, we Введенные выше, это может быть выражено следующим образом: Для любого α> 1/2, мы
have иметь
π(x) − Li(x) = Ω π (х) - Li (х) = Ω
((
Li(x)x Li (X) X
−α -Α
))
(x → ∞). (Х → ∞).
2.2 Working with the “oh” notations 2,2 Работа с "о" обозначения
Recall that an O-term in an arithmetic expression or an equation represents Напомним, что о перспективе в арифметическом выражении или уравнение представляет
a function that satisfies the inequality implicit in the definition of an O- функция, которая удовлетворяет неравенству подразумевается в определении O-
estimate. оценить. With this convention, expressions involving several O-terms have С этой конвенции, выражений, содержащих несколько O-члены имеют
a well-defined meaning. четко определенный смысл. However, we have to be careful when working with Тем не менее, мы должны быть осторожны при работе с
such terms as these are not ordinary arithmetic expressions and cannot be таких терминов, как это не обычные арифметические выражения и не может быть
manipulated in the same way. манипулировать таким же образом. Fortunately, most arithmetic operations are К счастью, большинство операций арифметики
permissible with O-terms. допустимого с O-терминов.
2.2.1 Rules for “big oh” and “small oh” estimates 2.2.1 Правила для "большого О» и «малых ой" оценивает
We now list some basic rules for manipulating O-terms. Сейчас мы перечислим некоторые основные правила для работы с O-терминов. For simplicity, Для простоты
we state these only for functions of a real variable x and do not explicitly Сформулируем это только для функций действительной переменной х и не явным
indicate the range (which thus, by our convention, is of the form x ≥ x указать диапазон (который, таким образом, по нашим конвенции, имеет вид х ≥ х
0 0
).).
However, the same rules hold in the more general context of functions of a Однако же правила в более общем контексте функций
complex variable s and O-estimates valid in a general range s ∈ S. комплексной переменной х и O-оценки справедливы в общем диапазоне S ∈ S.
• Constants in O-terms: If C is a positive constant, then the estimate • константы в O-термины: Если С-положительная постоянная, то оценка
f(x) = O(Cg(x)) is equivalent to f(x) = O(g(x)). F (X) = O (CG (X)) эквивалентна F (X) = O (г (х)). In particular, the В частности,
estimate f(x) = O(C) is equivalent to f(x) = O(1). Оценка F (X) = O (C) эквивалентно F (X) = O (1).
Asymptotic Analysis Асимптотический анализ
2.9.2009 2.9.2009
Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009
Page 15 Page 15 |
2.2. 2.2. WORKING WITH THE “OH” NOTATIONS РАБОТА С "OH" ОБОЗНАЧЕНИЯ
23 23
• Transitivity: O-estimates are transitive, in the sense that if f(x) = • транзитивность: O-оценки транзитивным, в том смысле, что если F (X) =
O(g(x)) and g(x) = O(h(x)), then f(x) = O(h(x)). O (г (х)) и д (х) = O (H (X)), то F (X) = O (H (X)).
• Multiplication of O-terms: If f • Умножение O-термины: Если F
i я
(x) = O(g (Х) = O (г
i я
(x)) for i = 1,2, then (Х)) при г = 1,2, то
f фа
1 1
(x)f (Х) Р
2 2
(x) = O(g (Х) = O (г
1 1
(x)g (Х) г
2 2
(x)). (Х)).
• Pulling out factors: If f(x) = O(g(x)h(x)), then f(x) = g(x)O(h(x)). • Вынув факторов: если Р (х) = O (г (х) к (х)), то F (X) = д (х) O (H (X)).
This property allows us to factor out main terms from O-expressions. Это свойство позволяет нам вынести за скобки основные термины из O-выражений.
For example, we can write the relation f(x) = x + O(x/log x) as Например, мы можем записать соотношение F (X) = X + O (х / Журнал х)
f(x) = x(1 + O(1/log x)). F (х) = х (1 + O (1/log х)). The latter relation is more natural as it Последнее соотношение является более естественным, как это
clearly shows the relative error in the approximation of f(x) by x. ясно показывает относительную погрешность в приближении (х) на х.
• Summation of O-terms: If f • Суммирование O-термины: Если F
i я
(x) = O(g (Х) = O (г
i я
(x)) for i = 1,2,...,n, (Х)) для г = 1,2,..., п,
where the O-constants are independent of i, then где O-константы не зависят от г, то
n п
∑ Σ
i=1 я = 1
f фа
i я
(x) = O (Х) = O
((
n п
∑ Σ
i=1 я = 1
|g | Г
i я
(x)| (Х) |
))
..
In other words, O's can be pulled out of sums, provided the sum- Иными словами, O, могут быть выведены из суммы при условии, что сумма-
Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 24 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |