estimate a O-estimate (“big oh estimate”) for f(x). оценить O-оценки («большая оценка ой") для F (X). The constant c called Постоянная с называются
the O-constant, and the range x ≥ x O-постоянная, а диапазон х ≥ х
0 0
the range of validity of the O- Диапазон действия O-
estimate. оценить.
In exactly the same way we define the relation “f(n) = O(g(n))” if f Точно таким же образом мы определим отношение "F (N) = O (г (п))" если F
and g are functions of an integer variable n. и г являются функциями целой переменной с.
Asymptotic Analysis Асимптотический анализ
2.9.2009 2.9.2009
Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009
Page 3 Page 3 |
2.1. 2.1. THE “OH” NOTATIONS "OH" ОБОЗНАЧЕНИЯ
11 11
Note that the O-constant c is not unique; if the above inequality holds Обратите внимание, что O-постоянная с не уникальным, а если выше неравенство
with a particular value c, then obviously it also holds with any constant с конкретным значением с, то, очевидно, оно выполняется с любой константой
c satisfying c > c. С удовлетворяющий с> с. Similarly, the constant x Кроме того, постоянная х
0 0
implicit in the range of an неявные в диапазоне
O-estimate may be replaced by any constant x O-оценка может быть заменен на любой постоянный х
0 0
satisfying x удовлетворяющих х
0 0
≥ x ≥ х
0 0
..
The value of the O-constant c is usually not important; all that matters Значение O-константу с, как правило, не важно, все, что имеет значение
is that such a constant exists. является то, что такая константа существует. In fact, in many situations it would be quite В самом деле, во многих случаях было бы весьма
tedious (though, in principle, possible) to work out an explicit value for c, утомительным (хотя, в принципе, возможно), чтобы выработать явное значение для C,
even if we are not interested in getting the best-possible value. даже если мы не заинтересованы в получении самых возможного значения. The beauty Красота
of the O-notation is that it allows us to express, in a succinct and О-нотация является то, что оно позволяет нам выразить в краткой и
suggestive manner, the existence of such a constant without having наводящий образом, существование такой постоянной, не имея
to write down the constant. записать константу.
Example 2.1. Пример 2.1. We have У нас есть
x = O(e х = О (е
x х
).).
Proof. Доказательство. By the definition of an O-estimate, we need to show that there exist По определению O-оценку, мы должны показать, что существуют
constants c and x константы с и х
0 0
such that x ≤ ce такие, что х ≤ CE
x х
for all x ≥ x для всех х ≥ х
0 0
.. This is equivalent to Это эквивалентно
showing that the quotient function q(x) = x/e показывает, что фактор функция д (х) = х / б
x х
is bounded on the interval ограничена на отрезке
[x [Х
0 0
,∞), with a suitable x, ∞), с подходящей х
0 0
.. To see this, observe that the function q(x) is Чтобы убедиться в этом, заметим, что функция Q (х)
nonnegative and continuous on the interval [0,∞), equal to 0 at x = 0 and неотрицательна и непрерывна на интервале [0, ∞), равная 0 при х = 0 и
tends to 0 as x → ∞ (as follows, eg, from l'Hopital's Rule). стремится к 0 при х → ∞ (как это следует, например, из правила Лопиталя). Thus this Таким образом, это
function is bounded on [0,∞), and so the O-estimate holds with x функция ограничена на [0, ∞), и поэтому O-оценка имеет место при х
0 0
= 0 and = 0 и
any value of c that is an upper bound for q(x) on [0,∞). любое значение с, что является верхней границей для д (х) на [0, ∞).
In this simple example it is easy to determine an explicit, and best- В этом простом примере легко определить явные и лучше
possible, value for the O-constant c. возможно, значение O-константы с. Indeed, the above argument shows В самом деле, выше рассуждения показывают,
that the best-possible constant is c = max что наиболее возможной постоянная с = макс
0≤x<∞ 0 ≤ х <∞
q(x), with q(x) = xe д (х), д (х) = х
−x -Х
,,
and the maximum of q(x) is easily determined by methods of calculus: The и максимум д (х) легко определяются методы исчисления:
derivative of q(x) equals q (x) = e производной д (х) равна д (х) = е
−x -Х
(1−x), which has a unique zero at x = 1. (1-х), которая имеет единственный нуль в точке х = 1.
Thus that q(x) attains its maximal value at x = 1, and so c = q(1) = e Так что д (х) достигает своего максимального значения при х = 1, и поэтому C = Q (1) = е
−1 -1
is является
the best-possible constant for the range x ≥ 0. наилучшая константа диапазоне х ≥ 0.
Example 2.2. Пример 2.2. The argument used in the previous example works in much Аргументы, используемые в предыдущем примере работает во многом
more general situations. более общих ситуациях. For example, consider the functions f(x) = (x+1) Например, рассмотрим функции F (X) = (х +1)
A
and g(x) = exp((log x) и д (х) = ехр ((войти х)
1+ϵ 1 + ε
), where A and ϵ are arbitrary positive constants.), Где ε и произвольные положительные константы.
Since the quotient q(x) = f(x)/g(x) of these two functions is nonnegative Так как фактор-д (х) = F (X) / г (х) эти две функции неотрицательна
and continuous on the interval [1,∞) and tends to 0 as x → ∞, it is bounded и непрерывная на отрезке [1, ∞) и стремится к 0 при х → ∞, то она ограничена
on this interval. на этом отрезке. Thus, we have the O-estimate Таким образом, мы имеем O-оценки
(x + 1) (Х + 1)
A
= O = O
((
exp ехр
((
(log x) (Вход х)
1+ϵ 1 + ε
))))
in the range x ≥ 1. в диапазоне х ≥ 1. However, in contrast to the previous example, working Однако, в отличие от предыдущего примера, работа
out an explicit value for the O-constant c would be rather tedious. из явного значения для O-константы с было бы довольно утомительно. The
Asymptotic Analysis Асимптотический анализ
2.9.2009 2.9.2009
Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009
Page 4 Page 4 |
12 12
CHAPTER 2. ГЛАВА 2. ASYMPTOTIC NOTATIONS Асимптотические ОБОЗНАЧЕНИЯ
O-notation allows us to ignore these complications: all we need to know is O-обозначений позволяет игнорировать эти осложнения: все, что нужно знать
the existence of a constant, and this, as we have seen, is easy to establish Существование постоянной, а это, как мы видели, легко установить,
with general continuity or compactness arguments. с общей непрерывности или соображений компактности.
Example 2.3. Пример 2.3. If P(x) = ∑ Если Р (х) = Σ
n п
k=0 к = 0
a
k к
x х
k к
is a polynomial of degree n, then есть многочлен степени п, то
P(x) = O(x Р (х) = O (х
n п
).).
Proof. Доказательство. For x ≥ 1 we have Для х ≥ 1 имеем
|P(x)| ≤ | Р (х) | ≤
n п
∑ Σ
i=0 = 0
|a |
i я
|x | Х
i я
≤ ≤
((
n п
∑ Σ
i=0 = 0
|a |
i я
| |
))
x х
n п
,,
so the required inequality holds with x так что требуемое неравенство выполняется с х
0 0
= 1 and c = ∑ = 1 и с = Σ
n п
i=0 = 0
|a |
i я
|. |.
Example 2.4. Пример 2.4. The relation Отношение
f(x) = O(1) F (X) = O (1)
simply means that f(x) is bounded as x → ∞. просто означает, что F (X) ограничена при х → ∞.
2.1.2 Dependence on parameters 2.1.2 Зависимость от параметров
In many cases, the functions involved in an O-estimate depend on one or Во многих случаях функции, участвующие в O-оценки зависят от одного или
more parameters. Дополнительные параметры. It may then be important to know whether the O-constant Затем она может быть важно знать, насколько O-постоянной
depends on these parameters or can be chosen independently of the param- зависит от этих параметров или может быть выбрана независимо от па-
eters. метры. If the constant (possibly) depends on one or more parameters, it is Если константа (возможно) зависит от одного или нескольких параметров, то
customary to indicate this dependence by placing the parameters as sub- Принято указывать эту зависимость, создав параметры, как суб-
scripts to the O-symbol and writing, for example, O Сценарии к O-символом и письменной речи, например, о
λ λ
, O, O
k к
, or O, Или O
k,ϵ K, ε
.. The
same convention applies, if the constant depends on a parameter arising in той же Конвенции применяется, если константа зависит от параметров, возникающих в
the range of an estimate (rather than the functions to be estimated). диапазон оценки (а не функции, которые будут ориентировочно).
To avoid mistakes, it is a good practice to explicitly indicate the depen- Чтобы избежать ошибок, это хорошая практика, чтобы явно указать зависимость
dence of O-estimates on any parameters by using the subscript notation, зависимость O-оценки по любым параметрам, используя обозначения индексов,
and we will generally adhere to this practice. и мы обычно придерживаются этой практики.
If it is possible to choose the constant in an O-estimate independent of Если есть возможность выбирать постоянная в O-оценка не зависит от
some parameter occurring in the definition of the function or the range of the некоторых параметров, входящих в определение функции или диапазон
estimate, we say that the estimate is uniform (or holds uniformly) with оценку, мы говорим, что оценка равномерна (или равномерно) с
respect to the given parameter. отношению к данному параметру. Uniform estimates are more informative and Равномерное оценки являются более информативными и
more useful than nonuniform estimates, and obtaining uniform estimates or более полезны, чем неоднородные оценки и получения равномерных оценок или
making non-uniform estimates uniform (eg, by making the dependence on делает неравномерные оценки форме (например, путем обеспечения зависимость от
parameters explicit) is a desirable goal. Параметры явные) является желательной цели.
Asymptotic Analysis Асимптотический анализ
2.9.2009 2.9.2009
Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009
Page 5 Page 5 |
2.1. 2.1. THE “OH” NOTATIONS "OH" ОБОЗНАЧЕНИЯ
13 13
Example 2.5. Пример 2.5. In Example 2.2 we showed, by a simple continuity argument, В примере 2.2 мы показали, с помощью простого аргумента непрерывности,
that, for any positive constants A and ϵ, we have (x+1), что для любой положительной константы и ε, имеем (х +1)
A
= O(exp((log x) = O (ехр ((войти х)
1+ϵ 1 + ε
))))
in the range x ≥ 1. в диапазоне х ≥ 1. While, in this case, the range x ≥ 1 could be chosen Хотя, в данном случае, диапазон х ≥ 1 могут быть выбраны
independently of the constants A and ϵ, this is not true for the O-constant независимо от константы и ε, это не относится к O-постоянной
c. с. Thus, to indicate the (possible) dependence of the O-constant on A and Таким образом, чтобы указывать на (возможно) зависимость O-постоянных на и
ϵ, we should write this O-estimate more precisely as ε, мы должны написать это O-более точно оценить как
(x + 1) (Х + 1)
A
= O = O
A,ϵ, Ε
((
exp ехр
((
(log x) (Вход х)
1+ϵ 1 + ε
))))
(x ≥ 1). (Х ≥ 1).
In general, the subscript notation simply says that the constant may В общем, обозначение индекса просто говорит, что постоянная мая
depend on the indicated parameters, not that it is not possible (for example, в зависимости от указанных параметров, не то, что это не возможно (например,
through a more clever argument) to find a constant independent of the за счет более умные аргументы), чтобы найти постоянную, не зависящую от
parameters. параметров. However, in this particular example, it is easy to see that the Тем не менее, в данном конкретном примере, то легко видеть, что
constant necessarily has to depend on both parameters A and ϵ. постоянная обязательно должна зависеть от двух параметров и ε.
2.1.3 Definition of “big oh”, general case 2.1.3 Определение "большой ой", общий случай
If f(s) and g(s) are functions of a real or complex variable s and S is an Если F (S) и G (S) являются функциями от действительного и комплексного переменного с и S является
arbitrary set of (real or complex) numbers s (belonging to the domains of f произвольный набор (действительных или комплексных) чисел с (принадлежность к области F
and g), we write и г), запишем
f(s) = O(g(s)) (s ∈ S), F (S) = O (G (S)) (S ∈ S),
if there exists a constant c such that если существует такая константа с, что
|f(s)| ≤ c|g(s)| (s ∈ S). | F (S) | ≤ C | G (S) | (S ∈ S).
To be consistent with our earlier definition of “big oh” we make the following Чтобы быть в соответствии с нашей предыдущей определение "большой ой" мы делаем следующее
convention: If a range is not explicitly given, then the estimate is Конвенция: Если диапазон не указан явно, то оценка
assumed to hold for all sufficiently large values of the variable Предполагается, что при всех достаточно больших значениях переменной
involved, ie, in a range of the form x ≥ x участвует, т. е. в диапазоне от вида х ≥ х
0 0
, for a suitable constant, Подходящую постоянную
x х
0 0
..
Example 2.6. Пример 2.6. Given any positive constant r < 1, we have Для любой положительной константы г <1, имеем
log(1 + z) = O Журнал (1 + г) = O
r г
(|z|) (|z| < r). (| Г |) (| г | <г).
Proof. Доказательство. Note that the function log(1 + z) is analytic in the open unit disk Отметим, что функция журнала (1 + г) аналитична в открытом единичном круге
|z| < 1 and has power series expansion | Г | <1 и имеет разложение в степенной ряд
log(1 + z) = войти (1 + г) =
∞ ∞
∑ Σ
n=1 п = 1
(−1) (-1)
n+1 N +1
n п
z г
n п
(|z| < 1). (| Г | <1).
Asymptotic Analysis Асимптотический анализ
2.9.2009 2.9.2009
Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009
Page 6 Page 6 |
14 14
CHAPTER 2. ГЛАВА 2. ASYMPTOTIC NOTATIONS Асимптотические ОБОЗНАЧЕНИЯ
Hence, in |z| < 1 we have Таким образом, в | г | <1 имеем
|log(1 + z)| ≤ | Войти (1 + г) | ≤
∞ ∞
∑ Σ
n=1 п = 1
1 1
n п
|z | Г
n п
| ≤ | ≤
∞ ∞
∑ Σ
n=1 п = 1
|z| | Г |
n п
= =
1 1
1 − |z| 1 - | г |
|z|. | Г |.
If now z is restricted to the disk |z| < r (with r < 1), then the above Если теперь г ограничено в круге | г | <г (с г <1), то выше
bound becomes ≤ (1−r) связан становится ≤ (1-г)
−1 -1
|z|, so the required inequality holds with constant | Г |, так что требуемое неравенство выполняется с постоянным
c = c(r) = (1−r) С = С (г) = (1-R)
−1 -1
.. (This is an example where the O-constant depends on (Это пример, где O-константа зависит от
a parameter occurring the definition of the range.) Параметр, происходящих определение диапазона).
Further generalizations to functions of more than one variable can be Дальнейшие обобщения на функции более чем одной переменной может быть
made in an obvious manner. сделал очевидным образом.
Example 2.7. Пример 2.7. For any positive real number p we have Для любых положительных вещественных числа р мы имеем
(x + y) (Х + у)
p р
= O = O
p р
(x (Х
p р
+ y + У
p р
) (x,y ≥ 0).) (Х, у ≥ 0).
More generally, we have, for any positive integer n and any positive real В целом, у нас есть, для любого натурального п и любом положительном реальном
number p, Число р,
(a (
1 1
+ ··· + a + · · · +
n п
))
p р
= O = O
n,p п, р
(a (
p р
1 1
+ ··· + a + · · · +
p р
n п
) (a) (
1 1
,...,a,...,
n п
≥ 0), ≥ 0),
where now the O-constant depends on both n and p. где сейчас O-постоянная зависит как от п и р.
Proof. Доказательство. The estimate (in the second, more general, form) can be proved via Оценка (во второй, более общий, форма) может быть доказано с помощью
Holder's inequality; alternatively, it follows immediately from the simple Неравенство Гельдера, наоборот, сразу следует из того простого
observation наблюдение
((
n п
∑ Σ
i=1 я = 1
a
i я
))
p р
≤ ≤
((
nmax Nmax
i я
a
i я
))
p р
= n = П
p р
(max (Макс.
i я
a
i я
))
p р
≤ n ≤ п
p р
n п
∑ Σ
i=1 я = 1
a
p р
i я
..
2.1.4 “Oh” terms in arithmetic expressions 2.1.4 "О" условия в арифметических выражениях
By a term O(g(s)) in an arbitrary arithmetic expression we mean a function По термин O (G (S)) в произвольное арифметическое выражение мы имеем в виду функции
f(s) that satisfies the inequality in the definition of the O-estimate. F (S), которая удовлетворяет неравенству в определении O-оценки. In other В других
words, an O-term can be thought of as a “black box” hiding some unknown словами, O-член можно рассматривать как "черный ящик" скрывается неизвестно
function, and the only information we have about this function is that it функции, и только у нас информации об этой функции является то, что
satisfies the appropriate inequality. удовлетворяет соответствующим неравенством.
This is a natural and useful convention that greatly simplifies the nota- Это естественная и полезная конвенции, которая значительно упрощает НОТА-
tion when working with O-expressions. ния при работе с O-выражений. For example, this convention allows Например, эта конвенция позволяет
us to write the relation нам написать соотношение
log(1 + x) − x = O(x Журнал (1 + х) - х = O (х
2 2
) (|x| ≤ 1/2)) (| Х | ≤ 1/2)
Asymptotic Analysis Асимптотический анализ
2.9.2009 2.9.2009
Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009
Page 7 Page 7 |
2.1. 2.1. THE “OH” NOTATIONS "OH" ОБОЗНАЧЕНИЯ
15 15
more naturally as более естественно, как
log(1 + x) = x + O(x Журнал (1 + х) = х + O (х
2 2
) (|x| ≤ 1/2).) (| Х | ≤ 1/2).
The latter can be thought of as a succinct form of the following rather Последнее можно рассматривать как краткую форму, а следующие
unwieldy statement. громоздким заявлении. “log(1+x) is equal to x plus a function that, in absolute "Журнал (1 + х) равна х, плюс функция, которая, в абсолютных
value, is bounded by a constant times x значение, ограничена постоянной раза х
2 2
in the range |x| ≤ 1/2.” в пределах | х |. ≤ 1/2 "
Example 2.8. Пример 2.8. Power series expansions naturally lead to O-estimates in the Разложений в степенные ряды естественным образом приведет к O-оценки в
above more generalized sense. выше более обобщенном смысле. In particular, if f(z) is a function analytic in В частности, если Р (г) является аналитической в
some disk |z| < R, then for any r < R and any fixed positive integer n, we некоторые круге | г | <R, то для любого г <R и любого фиксированного натурального числа п,
have, by Taylor's theorem, есть, по теореме Тейлора,
f(z) = Р (г) =
n п
∑ Σ
k=0 к = 0
a
k к
z г
k к
+ O + O
r,n г, п
(|z| (| Г |
n+1 N +1
) (|z| < r),) (| Г | <г),
where the a где
k к
are the Taylor coefficients of f(z). коэффициенты Тейлора Р (г).
Example 2.9. Пример 2.9. A term O(1) simply stands for a bounded function. Термин O (1) просто означает ограниченную функцию. For Для
example, the “floor function” [x] satisfies Например, "пол функцию" [х] удовлетворяет
[x] = x + O(1), [Х] = х + O (1),
since |[x] − x| ≤ 1. Так как | [х] - х | ≤ 1.
2.1.5 The Vinogradov “≪” notation 2.1.5 Виноградов "" "обозначения
This notation was introduced by the Russian number theorist IM Vino- Это обозначение было введено русским теории чисел И. М. Вино-
gradov as an alternative to the O-notation. Виноградова в качестве альтернативы O-обозначений. Along with the closely related Наряду с тесно связанной с
notations “≫” and “ ”, it has all become standard in number theory, Обозначения "» "и" ", он все стали стандартом в теории чисел,
though it is less common in other areas of mathematics. хотя она менее распространена и в других областях математики. In the case of В случае
functions of a real variable x and (implicit) ranges of the form x ≥ x функций действительной переменной х и (неявно) Диапазоны вида х ≥ х
0 0
, these, Эти
three notations are defined as follows: три нотации определяется следующим образом:
• “f(x) ≪ g(x)” is equivalent to “f(x) = O(g(x))”. • "(х)«г (х) "эквивалентно" F (X) = O (г (х)) ".
• “f(x) ≫ g(x)” is equivalent to “g(x) ≪ f(x)”. • "F (X)» г (х) "эквивалентно" г (х) «(х)".
• “f(x) • "F (X)
g(x)” means that both “f(x) ≪ g(x)” and “g(x) ≫ f(x)” г (х) "означает, что и" F (X) «д (х)" и "д (х)» (х) "
hold. удерживайте нажатой клавишу.
These definitions generalize in an obvious manner to more general func- Эти определения обобщаются очевидным образом на более общие функции
tions and ranges. ных и диапазонов.
Asymptotic Analysis Асимптотический анализ
2.9.2009 2.9.2009
Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009
Page 8 Page 8 |
16 16
CHAPTER 2. ГЛАВА 2. ASYMPTOTIC NOTATIONS Асимптотические ОБОЗНАЧЕНИЯ
If f(x) Если F (X)
g(x), we say that f(x) and g(x) have the same order of г (х), мы говорим, что F (х) и д (х) имеют тот же порядок
magnitude. величины. From the definition it is easy to see that “f(x) Из определения легко видеть, что "F (X)
g(x)” holds г (х) "держит
if and only if there exist positive constants c если и только если существуют положительные константы с
1 1
and c и с
2 2
and a constant x и постоянная х
0 0
such такие
that что
(2.1) (2.1)
c С
1 1
|g(x)| ≤ |f(x)| ≤ c | Г (х) | ≤ | F (X) | ≤ C
2 2
|g(x)| (x ≥ x | Г (х) | (х ≥ х
0 0
).).
As with the O-notation, dependence on parameters may be indicated Как и в случае O-обозначений, зависимость от параметров может быть указано
by putting the parameters as subscripts to the “≪” or “≫” symbols., поставив параметры, как индексы к "«»или«»«символами. For Для
example, the estimate (x+1) Например, оценка (х +1)
A
= O = O
A
ϵ ε
(exp((log x) (Ехр ((войти х)
1+ϵ 1 + ε
)), which we considered)), Который мы рассматривали
in Example 2.2, could have been written in the equivalent form в примере 2.2, можно было бы записать в эквивалентной форме
(x + 1) (Х + 1)
A
≪ «
A,ϵ, Ε
exp ехр
((
(log x) (Вход х)
1+ϵ 1 + ε
))
..
The primary advantage of the Vinogradov notation over the O-notation Основное преимущество обозначения Виноградов над O-обозначений
is a typographical one: If the function g(x) is a complicated expression (for является типографский один: Если функция г (х) является сложным выражением (для
example, a sum of several integrals), then f(x) ≪ g(x) looks much cleaner Например, сумма нескольких интегралов), то F (X) «д (х) выглядит намного чище
than f(x) = O(g(x)) (which would require an oversized set of parentheses). чем F (X) = O (г (х)) (что потребует негабаритных множество круглых скобках).
In addition, the Vinogradov notation provides an easy way to express lower Кроме того, обозначение Виноградов предоставляет простой способ выразить ниже
bounds by using the symbol “≫” instead of “≪”, and the “ ” symbol allows границы с помощью символа "» "вместо" «" и символ "" позволяет
one to express two O-estimates in a single statement. один для передачи двух O-оценки в одной инструкции.
The Vinogradov notation has the drawback that, unlike the O-notation, Обозначение Виноградов имеет тот недостаток, что, в отличие от O-обозначений,
it does not extend to terms in arithmetic expressions. оно не распространяется на членов арифметических выражений. Thus, for example, Так, например,
while one can rewrite the estimate а можно переписать оценку
π(x) − π (х) -
x х
log x войти х
= O = O
(x (Х
log x) войти х)
2 2
))
in an equivalent manner as в эквиваленте, как
π(x) = π (х) =
x х
log x войти х
((
1 + O 1 + O
(1 (1
log x войти х
))))
,,
only the first version can be stated using the Vinogradov “≪” notation: Только первый вариант можно констатировать помощью Виноградов "" "обозначения:
π(x) − π (х) -
x х
log x войти х
≪ «
x х
(log x) (Вход х)
2 2
..
Thus, depending on the situation, one or the other of these two notations Таким образом, в зависимости от ситуации, одной или другой из этих двух обозначений
may be more convenient to use, and we will use both notations interchange- может быть более удобным в использовании, и мы будем использовать оба обозначения взаимозаменяемы
ably throughout this course, rather than settle on one particular type of умело всем этим, конечно, а не оседать на одном конкретном типе
notation. обозначений.
Asymptotic Analysis Асимптотический анализ
2.9.2009 2.9.2009
Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009
Page 9 Page 9 |
2.1. 2.1. THE “OH” NOTATIONS "OH" ОБОЗНАЧЕНИЯ
17 17
Example 2.10. Пример 2.10. For any positive integer n and any positive real number p Для любого натурального п и любого положительного реального числа р
we have у нас есть
(a (
1 1
+ ··· + a + · · · +
n п
))
p р
p,n р, п
a
p р
1 1
+ ··· + a + · · · +
p р
n п
(a (
1 1
,...,a,...,
n п
≥ 0). ≥ 0).
Proof. Доказательство. The upper bound of this estimate (ie, the “≪” portion of “ ”) was Верхняя граница этой оценки (например, "«"часть" ") было
established (quite easily) in Example 2.7, but the proof of the lower bound установлено (довольно легко) в примере 2.7, но доказательство нижней границы
Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 29 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |