Исследование собственных колебаний струны методом резонанса

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА

Цель работы: Произвести наблюдение формы собственных колебаний струны при неизменном ее натяжении и исследовать зависимость скорости распространения поперечной волны в струне от ее характеристик.

Идея эксперимента

В работе собственные колебания струны исследуются методом резонанса. Явление резонанса заключается в следующем: если частота вынуждающей силы, периодической во времени и приложенной к малому участку струны, становится равной одной из собственных частот струны, то в ней устанавливаются стоячие волны с максимальной амплитудой колебаний. При этом необходимо, чтобы участок приложения вынуждающей силы совпадал с одной из пучностей соответствующей стоячей волны. Стоячая волна получается в результате наложения волн одинаковой частоты и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (частный случай интерференции).

Теория

Если механическая волна, распространяющаяся в среде, встречает на своем пути какое-либо препятствие, то она может резко изменить характер своего поведения. Например, на границе раздела двух сред с разными механическими свойствами волна частично отражается, а частично проникает во вторую среду. Волна, бегущая по резиновому жгуту или струне отражается от неподвижно закрепленного конца; при этом появляется волна, бегущая во встречном направлении. В струне, закрепленной на обоих концах, возникают сложные колебания, которые можно рассматривать как результат наложения (суперпозиции) двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Колебания струн, закрепленных на обоих концах, создают звуки всех струнных музыкальных инструментов. Очень похожее явление возникает при звучании духовых инструментов, в том числе органных труб.

Если волны, бегущие по струне во встречных направлениях, имеют синусоидальную форму, то при определенных условиях они могут образовать стоячую волну.

Пусть струна длины l закреплена так, что один из ее концов находится в точке x=0, а другой – в точке x=l (рис. 1). В струне создано натяжение T.

Рис. 1.

По струне одновременно распространяются в противоположных направлениях две волны одной и той же частоты:

· y₁(x, t) = A cos (ωt + kx) – волна, бегущая справа налево;

· y₂(x, t) = –A cos (ωt – kx) – волна, бегущая слева направо,

где – волновое число является пространственным аналогом круговой частоты .

В точке x = 0 (один из закрепленных концов струны) падающая волна y₁ в результате отражения порождает волну y₂. При отражении от неподвижно закрепленного конца отраженная волна оказывается в противофазе с падающей. Согласно принципу суперпозиции

y = y₁ + y₂ = (–2A sin ωt) sin kx,

где у – поперечное отклонение точки струны с абсциссой х в момент t.

Это и есть уравнение стоячей волны. В стоячей волне существуют неподвижные точки, которые называются узлами. Посередине между узлами находятся точки, которые колеблются с максимальной амплитудой. Эти точки называются пучностями.

Оба неподвижных конца струны должны быть узлами. Приведенная выше формула удовлетворяет этому условию на левом конце (x = 0). Для выполнения этого условия и на правом конце (x = l), необходимо чтобы kl = nπ, где n – любое целое число. Это означает, что стоячая волна в струне возникает не всегда, а только в том случае, если длина l струны равняется целому числу полуволн:

или (1)

Набору значений λ_n длин волн соответствует набор возможных частот ν _n:

Отсюда выражение для скорости волны имеет вид:

(2)

Скорость распространения волны зависит только от собственных характеристик струны и определяется по формуле:

(3)

где Т, d, r - натяжение, диаметр и плотность материала струны соответственно. Подставляя значения скорости в формулу (2), получаем окончательное выражение для собственных частот колебаний струны:

(4)

Каждая из частот и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота ν₁ называется основной частотой, все остальные (ν₂,ν ₃, …) называются гармониками или обертонами. На рис. 1 изображена нормальная мода для n = 2.

В стоячей волне нет потока энергии. Колебательная энергия, заключенная в отрезке струны между двумя соседними узлами, не транспортируется в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период) превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно как в обычной колебательной системе. Но в отличие от груза на пружине или маятника, у которых имеется единственная собственная частота струна обладает бесчисленным количеством собственных (резонансных) частот ν_n. На рис. 2 изображены несколько типов стоячих волн в струне, закрепленной на обоих концах.

Рис. 2.

В соответствии с принципом суперпозиции стоячие волны различных типов (т.е. с разными значениями n) могут одновременно присутствовать в колебаниях струны.

Экспериментальная установка

В схеме установки, представленной на рисунке 3, струна из медной проволоки натягивается на некоторой высоте между двумя стойками-струбцинами. Один конец струны закреплен неподвижно, а к другому концу, перкинутому через блок, прикреплена платформа с грузами, с помощью которых в струне создается натяжение.

От генератора электрических колебаний на струну подается регулируемое по частоте переменное напряжение. Вдоль струны может свободно перемещаться постоянный магнит.

Участок струны с текущим по нему переменным током попадает в поле постоянного магнита. При этом возникает периодическая сила, приложенная к струне. Частота изменения этой силы равна частоте переменного тока. В том случае, когда частота генератора будет совпадать с одной из собственных частот струны, а положение полюсов магнита – с пучностью стоячей волны, соответствующей данной частоте, наблюдается явление резонанса: в струне устанавливается стоячая волна.

Проведение эксперимента

Измерения и обработка результатов

1. Между двумя струбцинами, укрепленными на столе, натягивают тонкую медную проволоку. Для обеспечения надежного электрического контакта место закрепления конца струны и место ее касания блока должны быть предварительно хорошо зачищены с помощью наждачной бумаги. На свободный конец струны подвешивают платформу для грузов. К клеммам на струбцинах подключают выход генератора.

2. Включают генератор звуковых частот.

3. Создают натяжение в струне, поместив на платформу для грузов какой-либо разновес. При определении натяжения струны учитывается масса платформы. Для первого опыта рекомендуется взять общую массу груза 90-100 г.

4. С помощью микрометра измеряют диаметр струны, а с помощью линейки ее длину.

5. Устанавливают магнит посередине струны и, плавно изменяя частоту вращением лимба генератора (в районе 20 - 30 Гц), добиваются устойчивых колебаний основного тона. Затем увеличивают частоту колебаний в кратное число раз получают устойчивые колебания последующих обертонов. Если амплитуды колебаний малы, следует увеличить выходное напряжение на генераторе.

6. Записывают в таблицу 1 отчета в порядке возрастания значения частот звукового генератора, при которых на струне устанавливаются стоячие волны. Вычерчивают профили стоячих волн.

7. Подставляют в формулу (2) полученные значения резонансных частот и вычисляют скорость волны в струне для различных опытов (измеренная скорость). Находят среднее значение скорости при данном натяжении струны.

8. По формуле (3) рассчитывают теоретическое значение скорости (расчетная скорость) волны в струне. (Расчеты проводятся в системе СИ; плотность меди r = 8900 кг/м³).

9. Повторяют эксперимент для другого натяжения, данные заносят в таблицу 2.

10. В выводе сопоставляют измеренные и вычисленные значения скорости для различных значений натяжения струны.

Дата добавления: 2015-11-04