Построение графика функций

1. Рассмотрим вопрос о построении графика функции , где , при условии, что задан график функции . Каким образом можно осуществить это построение, выясним на примере функции . По графику функции построим график функции то есть в формуле полагаем .

.При функция принимает значение , которое функция принимает при . При функция принимает значение , которое функция принимает при . Мы видим, что оба раза то же значение, что и , функция принимает при значении на единицу меньшем. Это верно и в общем случае: то значение, которое функция принимает при , то есть , функция принимает при . Действительно, подстановка в функцию дает .

Рисунок 1

Рисунок 2

Это означает что, если на графике выбрана точка , то тогда точка плоскости принадлежит графику . Ее можно получить сдвигом точки влево вдоль оси на единицу, то есть сдвинув точку , мы получаем точку графика . Следует убедиться, что таким способом мы получим все точки этого графика. Возьмем точку графика функции с абсциссой , то есть точку . Она получается в результате сдвига влево на единицу точки , которая принадлежит графику функции .

Таким образом, сдвинув каждую точку графика , то есть всю кривую целиком, влево вдоль оси на единицу, мы получим график функции .

Рассуждая аналогичным образом, можно прийти к выводу, что график функции получается из графика функции сдвигом последнего на единицу вправо вдоль оси Oy. Мы видим, что направление сдвига определяется знаком числа . Если , сдвиг происходит влево, если – вправо.

2. Рассуждения предыдущего пункта можно применить при построении графика функции на основе графика произвольной функции . Покажем, что если взять точку )), принадлежащую

Рисунок 3

графику функции , то тогда точка (; )) будет принадлежать графику функции . Последнее выполняется в случае, если при значение функции равно . А это следует из равенства . Верно и обратное утверждение. Отметим, что число меньше числа , в случае . Если же , то больше чем , например, при получаем . Это означает, что точка с абсциссой лежит левее, чем точка с абсциссой , если , и правее ее, если . В последнем случае удобно записать в виде .

Таким образом, мы можем сформулировать следующий способ построения графика функции из графика функции :

График функции получается сдвигом графика функции оси вдоль ординат Ox на единиц.

Направление сдвига зависит от знака числа :

ü график сдвигается влево, если

ü график сдвигается вправо, если

3. Поскольку множество значений функции является проекцией графика на ось ординат, то сдвиг вдоль этой оси графика функции не изменяет саму проекцию (рис.4). Это означает, что .

Рисунок 4

Однако, области определения функций в общем случае не совпадают. Область определения функции получается в результате сдвига области определения функции по оси на то же число единиц, на которое сдвигается и сам график (рис.4). Поэтому, для функции, изображенной на рисунке 4, представляет собой отрезок ], а – отрезок ], поскольку . Если , то очевидно, что и .

4. На рисунках 5 и 6 приведены примеры построения графиков функций и , соответственно.

Рисунок 5

Рисунок 6

Пример. Построить график функции .

Решение. Поскольку , то запишем формулу функции в виде .

Построим сначала график функции , сдвинув влево на 2,5 единицы вдоль оси график функции . Затем растянем график функции в 2 раза вдоль оси . В итоге получим график функции (рис.5). Последовательность построения графиков удобно записать в следующем виде: .